02.17 公理体系的数学发展---序

希尔伯特

欧几里得的《几何原本》对于人类文明的最大贡献在于用演绎方法构建了一个公理化体系，使得人们对数学的认识可以从经验上升到理性，从具体上升到一般。欧几里得几何已经对现实世界的经验进行了高度抽象，但在本质上仍然是建立在经验直觉之上的。欧几里得以后，几何公理化体系的集大成者是19世纪最伟大的数学家之一的德国数学家希尔伯特。

希尔伯特 几何基础

希尔伯特在《几何基础》中构建了一个形式化的几何公理体系，在这个公理体系中，我们能够体会出“形式化”的含义：不管我们讨论的对象的实质是什么，只要从已经定义了的，用符号表示的对象出发，依据所确定的几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的，这就是理想中的，脱离了经验的数学。

因此，就形式化公理体系而言，数学的第二步抽象就是对象表达的符号化和论证过程的形式化。从基本概念和论证的出发点以及公理体系的特征这三个方面分析希尔伯特《几何基础》，我们可以很好地体会图形和图形关系的第二步抽象的精髓。数学的第二步抽象是必要的，却不是万能的，一个体系内的命题的正确与否的最终判断，并非完全是形式化公理体系内部的事情，仍然需要借助客观世界。

两千多年的时间里，人们不断地发现欧几里得几何的定理能够与客观事实如此完美地保持一致，以至于使人们确信几何地定理就是真理。这样，《原理》就成为严格证明的典范，成为科学论证的样板。但是，虽然欧几里得几何已经对于现实世界的经验进行了高度抽象，但在本质上仍然是建立在经验直觉之上的，比如定义“点是没有部分的”，比如公理“彼此能重合的东西是全等的”等等，我们仍然能够感觉到定义或者公理的现实存在性。因此，正如我们曾经谈到的那样，欧几里得几何只实现了第一步的抽象，这种抽象并没有完全舍弃物理背景。特别是非欧几何的出现，使人们开始怀疑最初的经验直觉的可靠性，开始思考应当如何确定数学研究的基础，从而构建一个不受物理背景制约的数学。

从欧几里得几何那里我们可以体会到，在本质上，几何研究的基础包括两方面，一方面是基本概念，一方面是论证的出发点。基本概念包括几何研究的对象，以及叙述这些对象之间关系的术语；论证的出发点包括一些最初的命题，比如公理和公设。因此，几何要进一步摆脱对于经验的依赖，就必须从这些基础开始。

德国数学家帕斯（1843-1930）已经明确地认识到这些，并且开始了有意义地尝试。帕斯意识到，欧几里得在本质上并没有给出几何所要研究对象的定义，“点是没有部分的”这不能称其为定义，特别是其中的术语“部分”的理解将变得比定义本身的理解更为困难。因此，他认为有一些概念必须是不定义，否则，定义的过程将会无穷无尽。关于论证的出发点，他认为公理不应当是不证自明的真理，而是用以产生一门特殊的几何的一些假设。他在1882年出版的《新几何讲义》中谈出了自己的想法：

“如何几何学要成为一门真正演绎的科学，那么必不可少的是：作出推论的方式既要与几何概念的意义无关，又要与图形无关；需要考虑的全部东西只是命题和定义所断言的几何概念之间的联系”

意大利数学家，逻辑学家皮亚诺（1858-1932）和他的学生们也强调一些基本的研究对象应当是不定义的，于是他们将其用符号表示，并且给出了基于符号的公理集合，这些写在他于1889年出版的著作《几何原理》中。

哥廷根大学之城

但是，自欧几里得以来，几何公理化体系的集大成者是19世纪最伟大的数学家之一的德国数学家希尔伯特（1862-1943）。与高斯一样，希尔伯特也是哥廷根大学的教授，但比高斯整整晚100年，在这里我们能体会到哥廷根大学学术传统之深远。希尔伯特于1899年出版了他的著作《几何基础》，之后多次修改，每一版都更加清晰和完全，最后一版是1930年的第七版。这部著作共七章，而体现公理化体系的主要在前两章：第一章为“五组公理”；第二章为“公理的相容性和互相独立性”。

下面，我们就几何的研究基础，即基本概念和论证的出发点，以及公理体系的特征这三个方面尝试地分析希尔伯特的这本著作，从中体会图形和图形关系的第二步抽象的精髓所在。