埃尔德什数
用一个特别的人来丈量所有的关系
关于人的“六度分隔”理论讲的是世界上任意两个人需要经过几个中间人才能建立起关系。比如，假设所有我认识的人都距离我一步之遥，那么他们认识的人就距离我两步之遥（除非我已经认识这些人了）。该理论认为，最多只需要 5 个中间人，你就能让世界上的任何两个人建立起联系。
一个有趣的衍生理论是将“认识的人”换成一篇论文的“共同作者”。这样一来，如果我和另外一个作者一起发表了一篇论文，在数学领域，我们二人的距离就是一步之遥。你可以根据已发表的论文将这些关系以点线图来表示，然后看看要连接起全世界所有的数学家究竟需要几个中间人。
保罗·埃尔德什是 20 世纪一位特立独行的匈牙利数学家。即便是在数学家这个群体中，他也算是一个乖僻的人——他的财产很少，他总是带着一只装着他全部财产的手提箱四处漂泊，用咖啡和苯丙胺来支撑他的数学研究。
▲ 保罗·埃尔德什(1913.3.26 - 1996.9.20), 匈牙利籍犹太人，发表论文高达1525篇（包括与人合写的），为现时发表论文数最多的数学家（其次是欧拉）；曾和511人合写论文。
他同时也是一位高产的合作研究者，事实上可能是数学历史上最高产的一位：他一生中曾与 511 位合作者合著过论文或专著。（作为对比，我目前只与 6 位合作者发表过论文。）
于是，他的朋友们想出了一个主意：将世界上所有的数学家通过中间人与埃尔德什联系起来。因此，他所有的论文共同作者就都距离他一步之遥，这些共同作者的共同作者则距离他两步之遥（排除前者已经与他共同发表过论文的情况），以此类推。他的朋友们愉快地决定，某位数学家与埃尔德什之间的距离（以中间人的人数来表示）就以“埃尔德什数”为名。所以，他的 511 位共同作者的埃尔德什数就是 1，而有大约 7000 个数学家的埃尔德什数是 2 ——也包括我。在经过了六度分隔之后，与埃尔德什有关联的研究者已经有 25 万人了，其中除了数学家，还有统计学、天文学和遗传学等领域的研究者。
这个例子与范畴论的一个重要概念有关。一旦你决定了要研究哪种关系，你就可以试着思考这个系统中是否存在一个“特别的物体”，其本身就包含了成千上万条重要的信息，就像一个诸如晴雨表、试金石或者埃尔德什这样的基准物。数学家将此类事物称为“泛性质”（universal property）。
通过这类事物与其他事物的关系来定义它们自身，这个问题我们实际上已经探讨过了。
- 数字 0 是唯一一个具有其他数字加上它而不发生改变这一特性的数字。
- 数字 1 是唯一一个具有其他数字乘以它而不发生改变这一特性的数字。
- 空集是所有集合中最小的集合。
- 之后我们会发现，空群是不存在的，所以所有群中最小的群是只有一个元素的群。
我们接下来会看到，范畴论把这些定义进行了推广。
下面是一些范畴论会研究的关系：
- 数字谁大谁小。
- 数字之间是否能相除。
- 某些空间是否可以像一块橡皮泥那样直接变形为其他空间。
- 从一个集合到另一个集合的映射。映射是一个过程，在这个过程中，它以某个集合中的元素作为输入值生成结果，而其输出值属于另一个集合。注意，两个集合之间可能存在许多不同的映射，且该映射生成的输出值也可能有所不同。这就是为什么我们不仅要思考事物是否相关，还要思考它们以何种方式相关。
- 一个关于群之间的关系的好的定义是：一个可以通过群内元素互相结合的方式让群与群有机交互的映射。
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