九年級數學一元二次方程知識歸納與梳理，幫你全面掌握概念、解法和應用
一元二次方程概述
一元二次方程是九年級數學的內容，是初中數與代數知識體系中，方程與不等式的終結篇，屬於初中整式方程最難最重要的內容。
其概念的學習可以類比一元一次方程來得到，其解法深刻體現了轉化與劃歸的數學思想，即“降次”的思想，通過將二次方程轉化為一次方程，進而求解。
其解法主要有：直接開平方法、配方法和公式法，有的還可以用因式分解法。但是根本是配方法，基本思想是通過配成完全平方式，在開方降次。
一元二次方程可以解決很多實際問題，尤其是二次的實際問題，這使得方程解決實際問題的範圍更加擴展了，可以解決更多的實際問題。
放在發展的角度看，一元二次方程與今後要學習的二次函數、一元二次不等式之間有密切的聯繫，學好這部分，可以打通方程與函數之間的關聯，構建更加穩固完善的認知體系。
在線答題新學法
對於任何數學知識的學習，都離不開做題，而題目的深度、強度、和難度、數量等，對知識的掌握有密切的關係，並不是越多越好，二是質量越高、越適合學習者越好，題量要適度，避免低水平重複。
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知識歸納與梳理
1．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那麼分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡後”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的係數不等於0”；“整式方程”．
2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個關於x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項，a叫做二次項係數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項係數b和常數項c可取任意實數，二次項係數a是不等於0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項係數，一次項係數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，並可利用這兩個等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），
ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那麼這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
5．解一元二次方程-直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可採用直接開平方的方法解一元二次方程．
注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數．
②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．
③方法是根據平方根的意義開平方．
6．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項係數，使二次項係數為1，並把常數項移到方程右邊；
③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方；
④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；
⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．
7．解一元二次方程-公式法
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是：
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．一元二次方程根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關係：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
上面的結論反過來也成立．
9．一元二次方程的應用
（1）列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．
（2）列一元二次方程解應用題中常見問題：
數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．
增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長後為a（1+x）；第二次增長後為a（1+x）2，即 原數×（1+增長百分率）2＝後來數．
形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關係列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關係，列比例式，通過兩內項之積等於兩外項之積，得到一元二次方程．
運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．
【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關係．
2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．
3．列：根據題中的等量關係，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準確求出方程的解．
5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．
6．答：寫出答案．
答題不是目的而是手段，掌握知識和方法，才是我們的初心，讓我們“不忘教育初心”，希望更多的學生健康成長，學有所成！加油努力！
作者：精準備考初中數學 中學高級教師，教育領域創作者。從教中學數學20餘年，重點研究領域：中考數學命題與複習備考、真題詳解、圈題預測，初中數學教學。致力於分享教學經驗和研究成果，助力考生衝刺高分！
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