函數與方程、方程組、及一元一次不等式（組）的綜合應用
【知識梳理】
函數圖像上的點和函數對應方程的解是一一對應的（那麼函數圖像上的點，也就是建立一個相等方程關係），函數圖像上的點的上方的點，代表y值都比該點對應的函數值要大，函數圖像上的點的下方的點，代表y值都比該點對應的函數值要小（那麼不在函數圖像上的點，也就和對應的函數建立起一個不相等的不等式關係）
【重點聚焦】
1、一次函數和一元一次方程的關係：
（1）求一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，可以轉化出求直線y=kx+b(k≠0)與x軸的交點，其交點的橫座標即為所求的結果，從而把數的計算轉化為形的直觀，是一種常用的轉化方法
【分析】本題需先求出一次函數y＝kx+b與x軸的交點座標即可求出方程的解．
【解答】解：∵一次函數y＝kx+b（k≠0）與x的交點座標是（﹣6，0），
∴關於x的方程kx+b＝0（k≠0）的解是：x＝﹣6．
故答案為：x＝﹣6．
【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次方程的關係，在解題時要能根據關係求出方程的解是本題的關鍵．
【分析】方程ax+b＝0的解為y＝0時函數y＝ax+b的x的值，根據圖表即可得出此方程的解．
【解答】解：根據圖表可得：當x＝1時，y＝0；
因而方程ax+b＝0的解是x＝1．
故答案為x＝1．
【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次方程之間的關係：方程ax+b＝0的解為函數值y＝0時函數y＝ax+b自變量x的取值．
【分析】根據一元一次方程的解是一次函數與x軸交點的橫座標，可得答案．
【解答】解：由ax+b＝0的解是x＝﹣2，得直線y＝ax+b經過點（﹣2，0），
B的圖象不經過（﹣2，0），
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數與二元一次方程，一次函數圖象與x軸交點的橫座標是相應方程的解．
（2）針對一元一次方程kx+b=c(k≠0)的解，我們可以找到一次函數y=kx+b(k≠0)圖像中縱座標為c處所對應的橫座標即可，那個座標就是所求的x的解.
【分析】觀察函數圖象，找出函數值y=3，對應的橫座標，由此即可得出結果．
【解答】觀察函數圖象，發現：
當y=3時，x=2，
∴方程kx+b＝3的解為x=2
故答案為：x=2．
【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次方程之間的關係：方程ax+b＝c的解為函數值y＝c時函數y＝ax+b自變量x的取值．
2、二元一次方程組與一次函數的方程思想：以二元一次方程的解為座標的點都在對應的函數圖象上，一次函數的圖象上的交點的座標都是對應的二元一次方程組的解，即二元一次方程組的解與以這兩個方程所對應的一次函數圖象的交點座標相對應.
點評：（1）解決此類問題關鍵要熟練掌握方程組與函數的關係，即二元一次
方程組的解就是兩個函數的交點，反過來兩個函數的交點就是二元一次方程組的解（2）求兩個函數的交點座標，我們只需要聯立這兩個解析式，得出一個方程組，通過方程組的解獲得交點座標.
【分析】根據兩個一次函數圖象的交點座標滿足由兩個一次函數解析式所組成的方程組求解．
【點評】本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：兩個一次函數圖象的交點座標滿足由兩個一次函數解析式所組成的方程組．
【分析】先利用P點座標確定直線y＝bx的解析式，然後根據方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點座標得到答案．
【解答】解：因為兩條直線相交於點P（2，﹣4），
把x＝2，y＝﹣4代入bx﹣y＝0，可得：2b+4＝0，
解得：b＝﹣2，
把x＝2，y＝﹣4，b＝﹣2代入kx﹣y+b＝0，可得：2k+4﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
所以一次函數y＝kx+b的表達式是：y＝﹣x﹣2，
故答案為：y＝﹣x﹣2．
【點評】本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點座標．
【分析】要求兩直線的交點，只需要聯立解析式求出方程組的解即可．
【點評】本題考查兩直線交點座標問題，解題的關鍵是理解兩直線的交點座標與方程組的解之間的關係，本題屬於基礎題型．
【分析】本題可先根據函數2x+5y＝﹣4求出交點的座標，然後將交點座標代入直線kx﹣3y＝8中，即可求出k的值．
【解答】解：在直線2x+5y＝﹣4中，
當y＝0時，2x＝﹣4，
∴x＝﹣2．
∴這兩條直線的交點座標為（﹣2，0）．
將（﹣2，0）代入kx﹣3y＝8中，得：﹣2k＝8，
∴k＝﹣4．
故選：B．
【點評】解答此題應根據兩直線相交時，函數圖象的交點應同時滿足兩個函數的解析式．
【分析】根據解關於x、y的二元一次方程組，可得兩隻線的交點座標，根據交點所在的象限，可得答案．
【點評】本題考查了兩直線相交的問題，先用代入消元法求出交點的座標，再根據交點的座標特點，x＞0，y＜0求出不等式組的解集．
3、反比例函數和一次函數交點問題與方程思想結合：反比例函數與一次函數的交點問題
（1）求反比例函數與一次函數的交點座標，把兩個函數關係式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．
（2）判斷正比例函數和反比例函數在同一直角座標系中的交點個數可總結為：
①當它們k值同號時，正比例函數和反比例函數在同一直角座標系中有2個交點；
②當它們k值異號時，正比例函數和反比例函數在同一直角座標系中有0個交點．
【分析】反比例函數的圖象是中心對稱圖形，則與經過原點的直線的兩個交點一定關於原點對稱．
【點評】本題考查了反比例函數圖象的中心對稱性，較為簡單，容易掌握．
【分析】把點的座標代入函數的解析式可得到mn＝1，n﹣m＝﹣3，再代入求值即可求得答案．
【點評】本題主要考查函數圖象上點的座標的特徵，利用交點座標滿足兩函數的解析式代入可求得mn和n﹣m是解題的關鍵．
【點評】本題側重考查知識點的記憶、理解、應用能力。
【分析】此題首先要觀察題目，求的是矩形的面積和周長，首先表示出矩形的面積：mn，正好符合反比例函數的特點，因此根據點A在反比例函數的圖象上即可得解；然後求矩形的周長：2（x+y），此時發現周長的表達式正好符合直線AB的解析式，根據A點在直線AB的函數圖象上即可得解．
【點評】考查了反比例函數與一次函數的交點問題，觀察所求的條件和已知條件之間的聯繫是解決問題的關鍵．
【點評】此題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，關鍵掌握好利用圖象求方程的解時，就是看兩函數圖象的交點橫座標．
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的座標特徵以及三角形的面積公式，根據三角形的面積公式找出點B的座標是解題的關鍵．
【分析】由於將直線y＝﹣4x+10向下平移m個單位長度得直線解析式為y＝﹣4x+10﹣m，則直線y＝﹣4x+10﹣m與反比例函數有且只有一個公共點，即方程組，只有一組解，然後消去y得到關於x的二次函數，再根據判別式的意義得到關於m的方程，最後解方程求出m的值．
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點座標，把兩個函數關係式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了一次函數與幾何變換．
【分析】（1）利用函數圖象，直線與x軸的交點的橫座標即為方程kx+b＝0的解；函數y＝kx+b的圖象在y軸右側部分的函數值都小於4，從而得到kx+b＜4的解集；
（2）從函數圖象中找出函數y＝mx和y＝kx+b都在x軸上方所對應的自變量的範圍即可；
（3）分x＜1、x＝1和x＞1看函數圖象的高低，然後比較兩函數值的大小；、
（4）與（2）的解題方法一樣．
【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式：一次函數與一元一次不等式的關係從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx+b的值大於（或小於）0的自變量x的取值範圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫座標所構成的集合．也考查了一次函數與一元一次方程．
4、二次函數與方程思想結合
未完，待續！
5、一次函數與不等式思想結合
①一次函數的函數值大於0的自變量取值所有的值（即函數圖像中在x軸上方所有點的橫座標）就是一元一次不等式kx+b>0(k≠0)的解集
【分析】根據點B的座標，觀察函數圖象，找出在x軸上方的函數圖象，由此即可得出結論．
【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式，解題的關鍵是找出交點B的座標．本題屬於基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據函數圖象的上下位置關係解不等式是關鍵．
②一次函數的函數值小於0的自變量取值所有的值（即函數圖像中在x軸下方所有點的橫座標）就是一元一次不等式kx+b<0(k≠0)的解集
【分析】由表格得到函數的增減性後，再得出y＝0時，對應的x的值即可．
【解答】解：當x＝1時，y＝0，
根據表可以知道函數值y隨x的增大而減小，
∴不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故選：D．
【點評】認真體會一次函數與一元一次方程及一元一次不等式之間的內在聯繫．理解一次函數的增減性是解決本題的關鍵．
③一元一次不等式m≤kx+b≤n（m、n是常數，且m＜n）的解集就是一次函數上滿足m≤y≤n那條線段上所對應點的橫座標x的取值範圍.
【分析】觀察函數圖象，分別找出函數值y=1，y=3，對應的橫座標，由此即可得出結果．
【解答】觀察函數圖象，發現：
當y=1時，x=0，
當y=3時，x=2，
∴不等式1＜kx+b＜3的解集為0＜x＜2
故答案為：0＜x＜2．
【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式之間的關係：一元一次不等式m≤kx+b≤n（m、n是常數，且m＜n）的解集就是一次函數上滿足m≤y≤n那條線段上所對應點的橫座標x的取值範圍.
【分析】觀察函數圖象得到當x＞2時，直線y1＝k1x在直線y2＝k2x+b的上方，於是可得到不等式k1x＞k2x+b的解集．
【解答】解：當x＞2時，k1x＞k2x+b，
所以不等式k1x＞k2x+b的解集為x＞2．
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx+b的值大於（或小於）0的自變量x的取值範圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫座標所構成的集合．
【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝﹣x又相交於（﹣1，1），（2，2）兩點，根據y1＞y2列出不等式求出x的取值範圍．
【點評】此題考查的是兩條直線相交問題，關鍵要由已知列出不等式，注意象限和符號．
【分析】．要求l1、l2表示的兩個一次函數的函數值都大於0時x的取值範圍，需求出兩函數與x軸的交點，再結合圖象，仔細觀察，寫出答案．
【點評】本題考查了兩條直線相交或平行問題，從平面直角座標系中讀圖獲取有效信息的能力是解題的關鍵，解題時需熟練運用待定係數法．
6、反比例函數與不等式思想結合：
（1）可以直接聯立不等式求解，但是要注意因為反比例函數是分式，化成不等式求解時，一定討論x的符號（這種方法只能解決反比例函數與數值之間的不等關係，這種情況可以化成一元一次等式求解，不能解反比例函數與一次函數建立的不等式，因為這種情況，化簡後不等式變成一元二次不等式，這類不等式的解法，不在我們初中學習的範疇）
（2）畫出反比例函數的圖象後結合圖象直接回答即可
【分析】畫出反比例函數的圖象後結合圖象直接回答即可；
【點評】本題考查了反比例函數的圖象及性質，能夠確定反比例函數的解析式是解答本題的關鍵，難度不大，屬於基礎題．
【分析】（1）依據點A為直線和曲線的交點，代入函數解析式即可得出結論，同時聯立方程組即可求得B點的座標；
（2）圖象在上面的y值大，聯繫函數解析式即可直接得出不等式的解集；
（3）找B點關於x軸的對稱點C，連接AC與x軸交於P點，此點即使所求之點，依據兩點之間線段最短．
【點評】本題考查的曲線與直線交點的問題，解題關鍵在於點的座標的靈活運用．
7、二次函數與不等式思想結合
8、二次函數數形結合思想解題大概步驟：
本文為中考函數滿分之路系列課程，後續內容持續更新中。。。
