淚鋶滿靣
談到最X的數學公式（X處一般可以隨意填），人們一般都會談到歐拉關於複數指數的一個恆等式：
因為這個公式聯繫了世界上五個最重要的數字：表示什麼都沒有的0，表示一個的1，圓周率的π，自然對數的底e和虛數單位i，這個公式如此的簡潔，但是在數學中又如此的重要，凡是學習了歐拉公式的人無不驚歎於歐拉深邃的思想。
為了瞭解它，首先我們要從“數系”的拓展開始。
自然數
在人們的生產和生活過程中，逐漸對數字產生了需求。人們為了給牛羊等牲畜計數，產生了自然數的概念。自然數就是全體正整數，也就是一個集合{1,2,3,4…} （有些教材把0也歸類為自然數）。
自然數集合對加法是封閉的。所謂封閉，就是說如果A和B都是自然數，那麼A+B也是自然數。例如2+3=5，4+6=10。 但是，自然數對減法不是封閉的，也就是說，如果A和B都是自然數，A-B不一定是自然數。例如3-2=1還是自然數，但是5-8=-3就不是自然數了。
整數
也許曾經有一段時間，人們認為5-8是沒有意義的。就好像“我一共有5只羊，但是卻要殺8只羊招待客人，還剩下幾隻羊？”這種問題根本不會發生。
但實際上，只要我們去別人家借三隻羊就可以滿足要求，此時我們擁有的羊就變成了負債3只。也就是-3的含義。所以，人們又發明了0 和負整數。正整數，零和負整數合成了整數集合{……-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4……}
整數對加減法都是封閉的，對乘法也是封閉的，但是對除法就不封閉了。也就是說，如果A和B都是整數，A÷B就不一定是整數。例如4÷2=2是整數，但是3÷2=1.5就不是整數。
有理數
為了解決除法封閉性的問題，人們發明了分數。在4000年前，古埃及人和古希臘人就在使用分數了。公元前5世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯將整數和分數合在一起，提出了有理數的概念。
所謂有理數，就是可以寫成兩個整數的比的數。寫作集合就是
這樣一來，有理數的加、減、乘、除（分母不能為零）就都封閉了。
畢達哥拉斯等人沉醉於自己的成就，他們認為所有的數字都是有理數。但是很快，學派內部的學者希帕索斯就發現了問題：如果一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那麼斜邊無法用兩個整數的比來表示。並由此引發了第一次數學危機。
這個問題在於，有理數對於開方運算是不封閉的，例如：√4=2是有理數，但是√2就不是有理數。
實數
人們經過長期的研究，終於發現不僅有可以表示成兩個整數的比的有理數，還有不能表示成整數比的無限不循環小數：無理數。人們把有理數和無理數合在一起，稱為實數。實數與數軸上的點一一對應。
在數軸上，我們不僅能找到整數1、2、3…，還能找到分數2/3，也能找到e、π、√2等無理數。
但是，數系並沒有到此結束。因為人們發現√-1還是無法在實數範圍內找到答案。也許有人會說：這個數本身就不存在啊！任何一個數的平方都一定是非負的，所以怎麼會有一個數字的平方等於-1呢？
複數
數學家們並不這樣認為。他們覺得這個數字就好像5-8一樣，在某個時刻就會找到它的用處。的確，現在的物理學和數學中，這個數字的作用非常大。這就是虛數。
人們定義虛數單位i的含義是i=√-1，也就是說：
i每4次冪循環一次。我們按照這個規律可以計算出i的2018次冪等於-1。
實數和虛數可以合在一起，就構成了複數：形如a+bi的數字，其中a和b都是實數，而i是虛數單位。
複數可以用複平面上的一個點（或者一個有向線段）表示。
複平面是由實軸（OX軸）和虛軸（OY軸）構成的平面。實軸就是實數軸，上面的每一個點表示一個實數，例如A點就表示1。虛軸是一個少了原點的數軸，每一個點表示一個虛數，例如B點就表示i。那麼平面上的C點在實軸上投影為2，在虛軸上投影為3，所以C點表示的複數就是2+3i.
複數的加減乘除規則與實數非常類似。例如：
A=1+i， B=2+3i， 則
A+B=3+4i； A-B=-1-2i，A×B=（2-3）+（2+3）i=-1+5i等。
顯然，複數內的加減乘除（分母不為零）都是封閉的，而且複數的實數次冪也是複數。
不過，問題也接踵而至：一個數的複數次冪是什麼？
歐拉公式
一個整數的有理數冪很簡單
對於無理數冪，例如2的π次冪，我們總可以用兩個有理數去逼近，也就是說我們知道
只要我們願意，總可以把精度無限提高，這樣無理數冪次的含義也被我們弄清楚了。
可是，2的i次冪到底是什麼？人們彷彿毫無頭緒。直到歐拉出現了。歐拉提出了著名的歐拉公式：
其中θ是一個實數，e是自然對數的底2.71828…
利用這個公式，我們就可以計算一個數的複數次冪了。例如：
其中ln2表示以e為底2的對數，它是一個實數。
有了這個公式，複數在乘方上也封閉起來了。而且，如果我們令θ=π代入公式，就會得到
這就是被譽為世界最美公式的歐拉恆等式。
歐拉公式的證明和應用
歐拉公式有許多證明方法，比如可以使用泰勒展開。
泰勒展開公式是說：一個光滑的函數可以展開成一系列函數的形式。例如e^x、cosx和sinx可以分別展開成下列形式：
我們把x=iθ代入上述公式，就可以發現歐拉公式的左右兩邊相等。此外還有求導、積分等方法。
使用歐拉公式可以解決非常多的問題，尤其在實變函數和物理中電學問題裡，經常會把一個三角函數寫作複數形式進行求解。沒有歐拉，我們很難解決交流電中的許多計算，也難以實現大規模的電氣化。
順便一說，1783年，76歲的歐拉在一起和家人聚餐，在陪孫子玩的時候他突然停下，對大家說：我死了。然後就與世長辭了。歐拉用自己的生命證明了：一個真正的數學家是沒有什麼不能預測的。
李永樂老師
先來一發：
1、雅各佈線:縱使改變,依然故我
關於雅各佈線，最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布醉心於研究對數螺線，這項研究從1691年就開始了。他發現，對數螺線經過各種變換後仍然是對數螺線，如它的漸屈線和漸伸線是對數螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發光點經對數螺線反射後得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線。他驚歎這種曲線的神奇，竟在遺囑裡要求後人將對數螺線刻在自己的墓碑上，並附以頌詞
“縱然變化，依然故我”，用以象徵死後永生不朽。2、阿基米德線
據說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(歐幾里德的弟子)發現的。柯農死後，阿基米德繼續研究，又發現許多重要性質，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。
3、圓線
關於圓線的公式，這裡就不說了。
4、心形線
法國數學家笛卡爾在1649年歐洲大陸爆發黑死病時流浪到瑞典，在斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。幾天後，他意外的接到通知，國王聘請他做小公主的數學老師。跟隨前來通知的侍衛一起來到皇宮，他見到了在街頭偶遇的女孩子。從此，他當上了小公主的數學老師。
小公主的數學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，笛卡爾向她介紹了自己研究的新領域——直角座標系。每天形影不離的相處使他們彼此產生愛慕之心，公主的父親國王知道了後勃然大怒，下令將笛卡爾處死，小公主克里斯汀苦苦哀求後，國王將其流放回法國，克里斯汀公主也被父親軟禁起來。
笛卡爾回法國後不久便染上重病，他日日給公主寫信，因被國王攔截，克里斯汀一直沒收到笛卡爾的信。笛卡爾在給克里斯汀寄出第十三封信後就氣絕身亡了，這第十三封信內容只有短短的一個公式：
r=a(1-sinθ）。國王看不懂，覺得他們倆之間並不是總是說情話的，將全城的數學家召集到皇宮，但沒有一個人能解開，他不忍心看著心愛的女兒整日悶悶不樂，就把這封信交給一直悶悶不樂的克里斯汀。
公主看到後，立即明瞭戀人的意圖，她馬上著手把方程的圖形畫出來，一顆心形圖案出現在眼前，克里斯汀不禁流下感動的淚水，這條曲線就是著名的“心形線”。
國王死後，克里斯汀登基，立即派人在歐洲四處尋找心上人，無奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人間......據說這封享譽世界的另類情書還保存在歐洲笛卡爾的紀念館裡。
雖然這個故事是假的。。。
5、玫瑰線
玫瑰線的說法源於歐洲海圖。在中世紀的 航海地圖上，並沒有 經緯線，有的只是一些從中心有序地向外輻射的互相交叉的直線方向線。此線也稱羅盤線， 希臘神話裡的各路風神被精心描繪在這些線上，作為方向的記號。所以，哥倫布探險隊中的西班牙水手想到方向的時候，並不是羅盤方位上的多少度，而是風（losvientos）。而葡萄牙水手則稱他們的羅盤盤面為風的玫瑰（rosedosventor）。水手們根據太陽的位置估計風向，再與“ 風玫瑰”對比找出航向。玫瑰線，即指引方向的線。
6、線性方程
大道至簡，化繁為簡！
線性方程事實上是人類最喜歡的含未知數的公式，因為其中之包含乘法與加法，簡單地不可挑剔。
超級數學建模
麥克斯韋方程。
英國科學期刊《物理世界》
質能方程
歐拉公式
2004年，英國科學期刊《物理世界》曾經舉辦過一個評選“世界最偉大的公式”徵集的讀者投票，最終榜上有名的十個公式兩極分化：有明星般閃耀的，作為愛因斯坦和相對論象徵的質能方程；也有複雜的，卻近乎完美的的歐拉公式；還有簡單的，連幼兒園小朋友都會算的1+1=2。。。但是，在這些公式中，排名第一的卻是一個大家不是那麼熟悉的公式：麥克斯韋方程：
尼加拉瓜發行的紀念麥克斯韋方程的郵票
這個結果充分證明了一件事情：腐國的同志們還是很有格調的，把這個B格最高的方程選為了最偉大的方程。大家可能乍一看感受不到它的偉大，不過B格不就是這樣麼，如果大家都懂，那還有啥格調可言？不過沒關係，接下來包大人就跟大家科普一下，這個方程高在哪裡。
這個公式簡潔而完美統一了磁場和電場，預測了電磁波的存在。不管是你家裡的電腦電磁爐微波爐的工作原理，還是4g，WiFi，藍牙連接原理，甚至我們看到的光的傳播，都可以由此方程組解釋，一句話總結：“宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋。”
看過漫威麼？我最喜歡的漫威超級英雄就是萬磁王。因為其他英雄角色之所以厲害，要麼靠裝備—像蟻人啊，鋼鐵俠，美國隊長之類的；要麼靠變異，像蜘蛛俠，蝙蝠俠，金剛狼之類的，而萬磁王是靠理解和操控這個宇宙的基本物理法則—電磁場而變成超級英雄的。大家要知道，我們所在的宇宙一共就是由四種基本作用力構成（強相互作用力，弱相互用力，電磁力和萬有引力）。如果說掌握了全部四種力就是整個宇宙的全能神的話，萬磁王已經是四分之一的神了。
愛因斯坦曾經想像麥克斯韋統一電磁場一樣統一引力場，甚至統一四總基本的力—即大一統理論或者又叫萬物理論，通過一個簡單美妙的公式來描述和預測宇宙中的每一件事情。不過偉大如老愛，花費了他晚年的幾乎所有時間，最後也失敗了。萬物理論的隧道如此黑暗而悠長，麥克斯韋走了四分之一的路程，老愛想繼續前行，可惜的是，直到去世他都沒有走出這個隧道。可是如果一旦走出去，他也許將會在隧道另一頭看到正在擲骰子的上帝。
以上。
包大人玩科學
這一大坨東西叫做標準模型拉格朗日量。它是人類在目前的科技水平下能夠達到的最接近萬物之理的一個理論。
概括地說，標準模型（英語：Standard Model, SM）是一套描述強力、弱力及電磁力這三種基本力及組成所有物質的基本粒子的理論。它隸屬量子場論的範疇，並與量子力學及狹義相對論相容。到目前為止，幾乎所有對以上三種力的實驗的結果都合乎這套理論的預測。但是標準模型還不是一套萬有理論，主要是因為它並沒有描述到引力。
標準模型總共描述了61種基本粒子及其相互作用，這些粒子可以用這一張圖來說明，這張圖顯示了標準模型描述的所有粒子（Higgs粒子除外）：
標準模型總共描述了61種基本粒子及其相互作用，這些粒子可以用這一張圖來說明，這張圖顯示了標準模型描述的所有粒子（Higgs粒子除外）：
標準模型中的粒子可分為兩類：費米子（Fermions）和玻色子（Bosons）。圖中，左邊的三列是費米子，右邊的一列（紅色的）是玻色子。
先說玻色子，圖中，第一眼看去有4種玻色子，再仔細一點，會發現最下面的W玻色子右上角有個指標，也就是說那個方格中實際上表示了兩個粒子。也就是說，直觀的看，圖中有5種玻色子。另外，第2行中的膠子（gluon）不止一種，而是8種。再加上圖中未顯示的Higgs玻色子，最終，有1+3+8+1=13中玻色子。
然後是費米子，費米子比較淘氣，種類繁多，還喜歡變花樣。首先，費米子可以分為夸克和輕子。這裡先說輕子，因為輕子比較簡單些。
輕子是圖中淺綠色的部分，從圖中看，有6種，但實際上，因為費米子不同於玻色子，有反粒子，所以實際上有12種輕子。
然後是夸克，夸克是圖中紫色的部分。從圖中看，有6中夸克，同樣因為反粒子的關係，這個數字需要加倍，也就是6*2=12種。但是別急，夸克還有一種奇怪的性質：她們是色彩迷，每種夸克都可以具有紅綠藍中的任何一種顏色。也就是說，前面的數字還需要乘以3，即：6*2*3=36種。
上面那個無法複雜的公式，描述的就是這個36+13+12=61種基本粒子相互之間的關係~
低熵製造機
B格最高的的數學或物理學公式是什麼？這個問題的答案不是唯一的，不同的人有不同的看法。
我認為B格最高的的數學或物理學公式應該是愛因斯坦的廣義相對論引力方程：
為什麼這麼說呢？
原因有3點：
1。愛因斯坦是科學家中知名度最高的。愛因斯坦的歷史上出現過的最偉大的物理學家，這一點幾乎沒有爭議，唯一能與他比擬的是牛頓，但牛頓的時空觀念是完全錯誤的，連牛頓自己都自己超距瞬間的引力相互作用是有明顯的問題的，而且牛頓無法解決慣性系到底是什麼的問題，一直在做邏輯上的循環論證——因此牛頓不如愛因斯坦偉大。尤其是最近LIGO發現引力波以後，這說明愛因斯坦的廣義相對論是一個真正有效的物理理論，它可以描述2個黑洞相互碰撞的這種極端高能的情況，也說明了愛因斯坦是一千年出一個的科學偉人，他的科學預言至少可以管100年。
2。愛因斯坦的廣義相對論引力方程是出了名的難懂，所以B格很高。廣義相對論剛問世的時候，世界上只有3個人懂，分別是愛因斯坦、愛丁頓與德西特。現在100多年過去了，很多物理學家依然不懂廣義相對論，其原因在於，廣義相對論的數學基礎較難，而廣義相對論的物理思想與別的規範場論不一樣。而至於普羅大眾，能看明白愛因斯坦的廣義相對論引力方程的人則是鳳毛麟角了。
3。愛因斯坦的引力方程能給數學家以啟迪。愛因斯坦的引力方程雖然是一個物理方程，但是這個方程使用了微分幾何的知識，所以能給微分幾何學家以啟發。比如著名數學家丘成桐在關注到卡拉比猜想的時候，就用愛因斯坦的引力方程的思想來理解卡拉比猜想：是否存在一個封閉的空間，上面沒有物質，但時空彎曲。另外，最近被用來證明龐加萊猜想的裡奇流方程，也是受到了熱傳導方程與愛因斯坦引力方程的啟發。因為愛因斯坦的引力方程可以給出一個幾何體的曲率的演化，所以可以被借鑑到裡奇流方程中，這兩者的基本思想是一致的，兩個方程中都明顯地出現了裡奇張量。
瀟軒
先說一個婦孺皆知的方程。
這大概是物理界最簡單的幾個方程之一了。但是卻聯繫著能量與質量。關於這個方程有著很多的傳奇故事。
其中最為人津津樂道的，恐怕就要屬人們認為它直接導致了原子彈的設計和製造，其實恐怕要讓你失望了。質能轉換公式對於原子理論和原子彈的設計和製造並無任何的直接或間接促進作用，而僅僅是後人用來解釋原子彈原理的解釋工具之一。
但愛因斯坦本人對於原子彈製造的貢獻在於：
關於原子彈和羅斯福，我所做的僅僅是：鑑於希特勒可能首先擁有原子彈的危險，我簽署了一封由西拉德起草給總統的信。
----引自《愛因斯坦文集》第三卷335頁
數學公式中我認為最美的。本人才疏學淺也出的也不多但這之中我認為最美的莫過於這個將三角，複數和自然常數結合在一起的歐拉方程。
特別是他的某個特里（e^πi+1=0）
1，0，π，i，e五個大佬開會。
但是上面的一切對於下面我要說的這位都不夠傳奇。
滿滿的三本筆記本上寫滿了公式，等號兩邊為何相等？這些公式能用來哪裡？連寫出公式的人也不知道！你也許猜到了我要說的就是拉馬努金。一個讓數學大師哈代都欽佩的男人，一個33歲就去世的數學天才。
關於他自學成才並負笈劍橋的傳奇故事曾數次被拍成電影，包括了2015年的《知無涯者》
關於它在說一個故事：
拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說：“我乘計程車來，車牌號碼是1729，這數真沒趣，希望不是不祥之兆。”拉馬努金答道：“不，那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的。”（1729=13+123=93+103，後來這類數稱為的士數。）利特爾伍德回應這宗軼聞說：“每個整數都是拉馬努金的朋友。”
兔肉菌
B格最高的公式，是勾股數公式，是架起高維空間的橋樑，最筒高維形態都是倍平方，比如愛因思坦的質能方程，E=mc^2。但目前還沒有人用邏輯的形式給出一個完全的勾股數公式，忽視了公式的高維結構，現在還停留在丟番圖時代。勾股數公式還存在不等關係，比如整數勾股，兩奇不補與費馬大定理x“n十y^n不等於Z^n，這是以勾股數相等公式為參考系的不等式結構。超弦理論中的弦兩對相向的極弦與對稱的內圓弦共同購建了閉合的桃形弦，不是物理學家僅憑一個函數關係式所能猜想的。哥猜2=1+1，是量子的分拆規律，同樣是高維空間關係。
數學與物理，一些是而非的公式，都存在侷限性，實事求是，只有勾股數空間是統一的數學與物理規律。
農家有野味
我認為是E=MC^2。愛因斯坦質能公式的B格最高，是因為這個公式的意義。在愛因斯坦之前，沒人會想到物質的質量會轉變成能量，而且，還有確切的數量關係。這是人類認識物質世界一個質的飛躍，直接導致了原子彈的理論和技術在實際中得以實現。指導人類掌握了核能，愛因斯坦說核能是上帝的能量。因此，我認為E=MC^2這個公式，讓人類進一步認識了宇宙，認識了物質的質量和能量之間的轉換關係，是B格最高的公式。
龐蓯
如果要說B格最高的物理學公式的話，雖然更多人會認為排第一的是麥克斯韋方程組，但在我心中排第一的絕對要屬普朗克的黑體輻射公式，劃時代的、超越我們理解能力的提出了能量並不是無限可分的，而是量子化的，繼續這個公式之後才開創了我們化學、物理的另一個時代。
數學公式裡面排第一的在我心中那必須是高斯分佈函數，也就是我們俗稱的正態分佈，它給我們提供了一把數學的尺子去判斷“是非”。沒這玩意，現在任何科研領域的基礎數學分析都進行不下去了。
潘峰2009協和介入
韋達定理
韋達定理說明了一元二次方程中根和係數之間的關係。
法國數學家弗朗索瓦·韋達於1615年《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係，提出了這條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，人們把這個關係稱為韋達定理。
