解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，如果题目中没有给出具体的图形，而根椐题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论.
一.分类思想在线段的计算中的应用
1.已知线段AB=12，在线段AB上有C，D，M，N四点，且AC:CD:DB=1:2:3，AM=AC/2，DN=DB/4，求线段MN的长.
【分析】本题AB=12，AC:CD:DB=1:2:3，A、C、D、B四点位置确定，又AM=AC/2，∴M点位置也确定，而DN=DB/4，这一条件比较模糊，N点可能在D点左侧，也可能在D点右侧，因此线段MN的长也就分两种情况来解.
解:因为AB=12，AC:CD:DB=1:2:3，所以AC=AB/6=12×1/6=2，CD=AB/3=12×1/3=4，DB=AB/2=12×1/2=6，因为AM=AC/2，DN=DB/4，所以MC=AM=AC/2=2×1/2=1，DN=DB/4=6×1/4=3/2.如图.
①当点N在点D右侧时，如图①，MN=MC+CD十DN=1+4+3/2=13/2;
②当点N在点D左侧时，如图②，MN=MC+CD一DN=1+4一3/2=7/2，
综上所述，线段MN的长为13/2或7/2.
2.如图，点O为原点，点A表示的数为1，点B表示的数为一3.
(1)若点P在数轴上，且PA十PB=6，求点P表示的数.
(2)若点M在数轴上，且MA:MB=1:3，求点M表示的数;
(3)若点A的速度为5个单位长度/s，点B的速度为2个单位长度/s，点O的速度为1个单位长度/s，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？
【分析】(1)点P位置不确定，可分点P在A，B之间，点P在A点右边，点P在A点左边，三种情况讨论.(2)也分M在线段AB上，M在线段BA的延长线上和M在线段AB的延长线上三种情况讨论.③已知速度，显然得设时间为未知数表示出各点运动的距离，再表示出各自在数轴上对应的数，利用OA=OB列方程求解，注意处理好，数轴上两个数与两个点间距离的关系，(在数轴上有A，B两点，点A在点B的右边，设A点表示的数为a，B点表示的数为b，则线段AB的长为a一b).
解:(1)①当点P在A，B之间时，显然不合题意，舍去;
②当点P在A点右边时，因OB=3，OA=1，所以PA=1，则P点表示的数为2，
③当点P在B点左边时，由于AB=1一(一3)=4，所以PB=1，则P点表示的数为一4，
(2)①M在线段AB上时，显然M表示的数为0.
②M在线段BA的延长线上时，设M表示的数为m，则MA=m一1，MB=m一(一3)=m十3，由于MA:MB=1:3，所以3(m一1)=m+3，解得m=3，即M表示的数为3，
③M在线段AB的延长线上时，显然不合题意，舍去.
(3)设运动xs时，点B运动到点B'，点A运动到点A'，点O运动到点O'，此时O'A'=O'B'，点A'，B'在点O'两侧，则BB'=2x，OO'=x，AA'=5x.所以点B'表示的数为2x一3，点O'表示的数为x，点A'表示的数为5x+1，因为O'A'=5x+1一x=4x+1，O'B'=x一(2x一3)=3一x，所以4x+1=3一x，解得x=0.4，即0.4s后，点O恰为线段AB的中点.
二.分类思想在角的计算中的应用
3.如图，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度数;
(2)过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，请你求出∠COD的度数
【分析】(1)角的计算题，一般列方程求解.(2)由于射线OD位置不确定，所以分OD在∠AOC内部和OD在∠AOC外部两种情况讨论.
解:(1)设∠BOC=x，则∠AOC=2x，由题意得，90°一2x+30°=x，解得x=40°，因为∠AOC=2∠BOC，所以∠AOB=∠BOC=40°
(2)如图，
当OD在∠AOC内部时，如图①，由(1)知，∠AOC=80°，因为∠AOC=4∠AOD，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOC一∠AOD=80°-20°=60°.
当OD在∠AOC外部时，如图②，由(1)知∠AOC=80°，因为∠AOC=4∠AOD，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOD十∠AOC=20°+80°=100°.
综上，∠COD的度数为60°或100°.
4.已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)如图，若OC在∠AOB内，探究∠MON与∠AOB的数量关系;
(2)若OC在∠AOB外，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系.
【分析】(1)依据图结合角平分线的性质，推导即可.(2)因为OC在∠AOB外，考虑OC的位置，应分OC靠近OB一侧;OC靠近OA一侧;OC远离OA，OB三种情况推导.
解:(1)因为OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC，所以∠MON=∠MOC+∠NOC=1/2∠AOC十1/2∠BOC=1/2(∠AOB+∠BOC)=1/2∠AOB.
(2)如图
①当OC靠近OB一侧时，如图①，因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC=1/2(∠AOB+∠BOC).∠NOB=1/2∠BOC，所以∠MON=∠MOB+∠NOB=∠MOC一∠BOC十1/2∠BOC=∠MOC一1/2∠BOC=1/2(∠AOB十∠BOC)一1/2∠BOC=1/2∠AOB.
②当OC靠近OA一侧时，如图②，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOM=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC=1/2(∠AOB十∠AOC)=1/2∠AOB+1/2∠AOC，所以∠MON=∠AOM+∠AON=1/2∠AOC+(∠NOC一∠AOC)=∠NOC一1/2∠AOC=1/2∠AOB十1/2∠AOC一1/2∠AOC=1/2∠AOB.
③当OC远离OA，OB时，如图③，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC=1/2∠AOC，∠NOC=1/2∠BOC.所以∠MON=∠MOC+∠NOC=1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2(360°一∠AOB)=180°一1/2∠AOB.
综上所述，∠MON与∠AOB的数量关系是∠MON=1/2∠AOB或∠MON=180°一1/2∠AOB.
【总结】解决问题，遇到不确定因素时，分类讨论的方法自然就登场了.注意分类时，找准分类的标准，做到不重复，不遗漏，方能正确解答，尽善尽美。
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