广义相对论是爱因斯坦最伟大的成就，当然也是近代大尺度物理学/宇宙学最伟大的成就。而爱因斯坦场方程则是广义相对论的最凝练的核心数学表达式，爱因斯坦场方程对很对人来说是非常神圣和神秘的。
今天，我们准备写一篇简单的科普文章介绍一下爱因斯坦场方程是如何推导出来的。或许要请大家做好心理准备，爱因斯坦场方程的推导并不是从数学或者物理上通过数学定律或者物理定理严格推导出来的，而是通过对物理的深层次的认知，加上对数学的精通，猜测出来，是的，是一个美妙的物理直觉性的猜测结果！当然，如果说的更科普一些，哲学的观点在广义相对论的创立上起了很大的推动作用，这一点与狭义相对论截然不同，狭义相对论的数学公式有着标准、严格且完全自洽的推导过程。改天，我们也写一篇科普的文章来讨论一下狭义相对论的推导过程，今天我们专注于爱因斯坦场方程的推导过程，从而去稍微的感受一下：哲学或者数学是如何影响并加速物理进程的。
我们试图用最简单的数学描述语言，解释清楚爱因斯坦场方程是如何导出的。但是再此之前，我们假定大家都是熟悉欧氏几何（或者欧式空间的），也就是我们平常所直觉的平直的空间，而且在欧式空间中（正常的三维空间），大家最熟悉的笛卡尔坐标系被用来描述空间中的物理点。但是随着数学的进步（数学的进步总是很神奇的领先于任何一门自然科学的，放到近现代，更是如此！），物理学家和数学家开始认识到，我们所处的空间可能使用黎曼时空（或者叫类黎曼时空，爱因斯坦的原文中使用了Semi-Riemannnian的字眼）更加合适！于是广义相对论的征程从纯数学的黎曼时空开始出发。
完全基于数学的黎曼时空可以用四维坐标来表示：三个空间坐标和一个时间坐标，写法与平常我们熟悉的笛卡尔坐标系有些差别，用xu（u=1、2、3、4）来表示黎曼时空中的某个物理点（例如：u=1、2、3表示其中的空间性质，u=4表示时间性质），这里的xu并不是x的u次方的涵义！这是一种为了后面更加方便的使用张量的一种大家都广为接受的对四维时空的数学表述方式。那么基于四维的黎曼时空，最大的直观变化是：时间成为了一个维度，时间和空间成为不可分割且相互影响的一部分。于是在黎曼空间中，常见的函数形式成为了：τ=f(xu)。而且在黎曼时空中，有了固有时间（proper time，τ）和坐标时间的区别（coordinate time，t或者x4类似的描述），有了时空变化对时间流逝产生影响的影子。且固有时间代替坐标时间来计算四维速度，这与我们直观中的经典力学中的速度概念也不一样。
在引入黎曼时空的同时，爱因斯坦也同时将“张量”（tensor）的概念引入到物理学中。什么是张量？张量可以满足一切物理定律与坐标系选择无关的特性，且符合爱因斯坦提出的等效原理：物理定律在任何参考系中都具有相同的形式。等效原理是广义相对论的最基础性的假定，即使到了现在，对等效原理的证明仍然是天文学或者物理学中的前沿热点问题。而张量正好满足了等效原理的要求，于是在向最终场方程确定的过程中，张量也加入了进来。于是黎曼张量guv（或者叫度规张量，广义相对论中的习惯称呼）加入到广义相对论中。于是最简单的测地线方程（两阶微分）有如下的形式：
测地线方程的描述
其中Γ就是大家或许熟悉的克里斯托弗符号（Christoffel symbol），是一个度规张量的函数。当然当Γ=0的时候，测地线方程就简单的转化成了经典牛顿力学的匀速运动方程，因为加速度a=0。为了更好的描述时空的弯曲特性，基于克里斯托弗符号和黎曼度规张量，爱因斯坦又引入了大家所熟悉的爱因斯坦张量（Ricci张量的组合函数），用来描述时空的弯曲特性
爱因斯坦张量
不管爱因斯坦场方程最终的数学描述多么的繁杂、多么的先进，但是在一定的物理条件下（比如弱引力、低速的欧式时空中），爱因斯坦场方程的化简形式必须满足经典的牛顿力学的数学描述形式，因为平直时空中的牛顿物理是经过验证而正确无误的。
而在牛顿力学中，能量和动量是两个最基本也是最为广泛应用的物理量，所以此处使用了广义相对论中大家熟悉的一个张量的描述名词：能量-动量张量，表示了能量和动量在时空中的密度和通量，通常用数学符号Tuv来描述，比如T00代表了代表了对物质密度的描述。由于经典的牛顿物理中，存在着大家熟知的能量守恒和动量守恒，所以加入弯曲时空特性的爱因斯坦场方程也必须要满足能量守恒和动量守恒，至少在向平直时空过度的情况下是必须如此的
能量动量张量的微分表述
与爱因斯坦张量的微分形式比较，于是推测有
最直观的场方程的表述
写成大家熟悉的方式，就是：
爱因斯坦场方程的表述
很抱歉，如果要将其中的参数k确定下来的话，需要进行一定的度规张量的展开，我没有办法将他们在简单的数学下解释清楚。但是看看上面的公式，就是大家最为熟悉的爱因斯坦场方程的最终形式。
当然，由于爱因斯坦场方程的推导带有了太多哲学思辨的色彩，并不是严格意义上的数学推导，所以在考虑到宇宙时空的稳定（静止的还是膨胀的？）情况时，爱因斯坦在后来的时候，又在场方程的左边添加了宇宙常数项
场方程的左边添加常数项
仍然是一个张量项，没有改变方程的物理性质。换句话说，爱因斯坦场方程具有完全的开放性，如果能够找到合适的张量描述参数，并且简化形式不违背经典牛顿力学的情况下，可以在成方程中添加任何物理量的数学张量描述！
具体的论述，到此为止，写的诚惶诚恐，也写的满头大汗！简单的说，场方程的左边代表了时空的弯曲情况，由爱因斯坦张量来描述（Ricci张量的组合函数），场方程的右边代表了时空中的能量（或者物质质量分布）情况。当然，由于场方程的推导有着浓厚的哲学思辨的色彩，我们现在难以分辨：质量和能量分布是否是时空弯曲的主因？还是由于时空的弯曲导致了能量或者质量的聚集？
写到最后，心胸中除了虔诚的“顶礼膜拜”这四个字，再也找不到其它的合适词语用来表达对爱因斯坦和广义相对论的钦佩之情了!
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