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人類科技的進步離不開數學的發展，數學已經被廣泛應用於各種領域。在數學的發展過程中，頂級數學家功不可沒。說到頂級數學家，這裡來介紹一下20世紀最偉大的數學家之一：大衛·希爾伯特，他被認為是最後的數學全才。
在20世紀伊始，希爾伯特指出了20世紀的數學發展方向，並提出了亟待解決的23大數學問題。經過眾多優秀數學家的不懈努力，大部分的希爾伯特問題都已經得到解決，這有力促進了20世紀數學的進一步發展。希爾伯特的墓誌銘為：“我們必須知道，我們也必將知道”，這正是他對於23大數學問題的決心。
在希爾伯特的諸多成就中，一個非常重要的成就與廣義相對論有關。
愛因斯坦當年在研究廣義相對論時，一直沒能找到描述引力的正確方程，這與他本人有限的數學知識儲備有關。但這並不是說愛因斯坦的數學功底不好，只是廣義相對論需要用到當時很深、很前沿的數學理論，這對於學物理出身的愛因斯坦有些吃力。
愛因斯坦找到了希爾伯特，並跟他一起探討了廣義相對論。作為數學家，希爾伯特憑藉高超的數學技巧，很快就通過變分原理推導出了引力場方程的正確形式。愛因斯坦在與希爾伯特之前的探討中得到了啟發，他從另一個角度獨立推導出了引力場方程，這要稍遲於希爾伯特。
不過，希爾伯特並沒有跟愛因斯坦爭奪發現引力場方程的優先權。希爾伯特說過這麼一句話——哥廷根的任意一個小孩都比愛因斯坦更懂黎曼幾何，但相對論的發現者只有愛因斯坦一人，而非其他數學家。
希爾伯特的話非常中肯。誠然，沒有愛因斯坦，就不可能走到推導引力場方程的最後一步。希爾伯特更早得到引力場方程，只能說明他的數學技巧要高於愛因斯坦。但廣義相對論的引力場方程蘊含著極深的物理思想，只有愛因斯坦才想到了這些，所以廣義相對論完全屬於愛因斯坦的個人成就。
由於希爾伯特推導引力場方程的方法更具優勢，所以更多地被人們所用。因為希爾伯特為廣義相對論所做的這項貢獻，希爾伯特推導所用的作用量被稱為愛因斯坦-希爾伯特作用量。
火星一號
答案：厲害到你們以為我在胡說的程度。
2000年的時候，美國曾公佈過千禧年的數學七大難題，這七道題中的任意一題，誰能解決直接領走100萬美金。
美國通過這種向大眾懸賞的方式，吸引了一大批躍躍欲試的數學愛好者，解決一道題就能拿走100萬美金，並且可以在數學界一夜成名，各種榮譽和額外收益足以保障下半輩子的基本生活。
但就是有這麼一位數學神人，解決了其中的一道題卻放棄拿走100萬美金。面對記者的提問，他回答的大致意思是：我對錢不感興趣，只不過是解決了一道數學題而已，不喜歡被你們放到聚光燈下。
這位數學天才就是俄羅斯數學家，格里戈裡·佩雷爾曼。
看這放蕩不羈的髮型就讓人覺得，他要麼是天才，要麼是精神病院的病人。
佩雷爾曼解決的這道難題是龐加萊猜想，龐加萊猜想是法國數學家龐加萊提出的，這個猜想簡單到只有一句話：任何一個單連通的封閉三維流形，一定同胚於一個三維的球面。這種數學難題，能看得懂問題的人，在普通人中就已經屬於高智商了。
我用普通人能理解的話，舉個例子講解一下：假設地球表面完全光滑，現在將一根足夠長的繩子的一端，固定在地球上任何一個點A，另一端拿在手裡，然後繞著地球走一圈，這一圈可以很大，當然也可以很小，然後回到點A。這時，同時拉動繩子的兩端，可以將繩子收回，這就證明地球是球形，如果收不回來，就證明地球是其它形狀的。
如果地球是一個巨大的甜甜圈，繩子會出現收不回來的情況，會被綁住。
龐加萊憑藉自己的經驗認為，這種情況適用於任何一個三維流形，但自己無法證明。這個猜想是龐加萊在1904年提出的，數學界到了2006年才最終確認被佩雷爾曼解決。
佩雷爾曼並非是為了錢才去解決數學難題的，數學對他來說就像是網癮少年打遊戲一樣痴迷，他從1995年開始研究龐加萊猜想，花費7年時間，在2002年解決了這個問題。當時佩雷爾曼只是把自己的證明過程上傳到了一個網站當成論文草稿，並且給十幾位數學家發郵件，想讓他們看看是否正確。
沒想到這一行為卻引起了數學界的轟動，還被邀請去麻省理工學院給數學家講解，整整90分鐘的證明解析過程，讓在場所有人從心底裡佩服佩雷爾曼。
有些數學家試圖證明佩雷爾曼是錯的，但過了3年多都沒人找到任何問題，最終在2006年被確認，困擾了數學家一個世紀的問題被解決了！
解決了龐加萊猜想，佩雷爾曼完全可以穿上西裝打上領帶，作為數學家去各大名校撈金，各種邀請和職位也是鋪天蓋地，還有人給他開出了1年只工作1個月的崗位，薪水自己開，只要人出現就可以了，但最後還是被佩雷爾曼拒絕了，就像他拒絕千禧年數學的100萬美金那樣。
佩雷爾曼拒絕的獎項遠不止如此，他還拒絕了2006年的數學菲爾茲獎，這個獎項和諾貝爾獎是同一個界別的；拒絕了2004年推薦的俄羅斯科學院院士；拒絕了1996年歐洲數學會給他頒發的“傑出數學家獎”；1996年拒絕了美國高等學府，斯坦福和普林斯頓等研究院的聘請；2005年，他還辭掉了所有的職務。
佩雷爾曼研究數學問題埋頭苦幹就是幾個月的時間，在研究龐加萊猜想整整7年時間，就像從人間蒸發了一樣，僅依靠此前在美國工作積攢的積蓄度日，生活非常簡樸，有時還會被人誤認為流浪漢。
《紐約時報》曾發表過一篇報道，標題就是“佩雷爾曼，你在哪裡？
有人開玩笑地說：佩雷爾曼說不定正在深山裡撿柴火。
如今，50多歲的佩雷爾曼疑似出現在瑞典，他沒有結婚也不追求金錢。不為錢，不為名，也不為利，只為自己喜歡做的事，這個境界已經不是一般人能理解的了。
我所瞭解的所有數學家中，沒人比佩雷爾曼更傳奇了。
科學薛定諤的貓
說一個親身經歷吧。
頂級數學家沒接觸過，就說說身邊的一位大神。
上高中的時候，一個舍友，我們叫他“神仙”。
他有多厲害呢？
同樣都是搞奧數的，我們比劃半天的題目，神仙往往談笑間就解出來了。
當時有個同學，上美國的網站搞奧數題，都是找神仙解題，解出來後提交過去賺賞金，然後上供給神仙。
高考之後，神仙直接進入南大數學系重點班，進去之後在裡面也是一騎絕塵，吊打全場（這段是聽說的，沒有親眼見證，不過估計至少也是領頭級別的）。
兩年之後，前往英國劍橋大學進修。
圍棋界有句話，叫做“二十歲不成國手，終生無望”。
這句話放在數學界基本也是適用的。
比如陶哲軒大佬，13歲獲得IMO（國際奧林匹克數學競賽）金牌，最低年齡記錄至今無人可破。
就是神仙這麼強的一個人，高中時期數學競賽也只衝到了省一的級別，裡國獎還差不少，更不用說進入最強訓練營，廝殺出來代表國家去參加IMO了。
這些學神有多強悍呢？最近40年，中國一個國家獨霸了18次冠軍，還有一次和俄羅斯並列。
那可是世界冠軍啊……
而IMO獲獎的大佬們，最終成為頂級數學家的又有多少呢？
屈指可數。
所以，我只能模糊的說，頂級數學家真的恐怖如斯。
暴躁辦公室
很多年前，我還在讀研究生。
有一次我們討論班，講一篇丘成桐先生的文章。一個師兄經過將近一個小時的熟練演算，用了七八塊黑板，把兩項變成了三項。
小老闆看了之後，頷首。我們一堆人暗自喝彩：師兄好強。
小老闆說：XX算的很好啊，功底很紮實，不過當年丘先生掃了一眼，覺得這個東西就是最後這個結果。。。
集體石化。
賊叉
答：數學是一個非常考驗智力的科目，也是所有科學的基礎，頂級的數學家都是智商超群。
在人類歷史上，有個別超一流數學家，僅憑個人之力，就把數學的發展進程推進了幾十年甚至幾百年，給人類留下豐富的遺產，比如下面幾位。
歐拉
數學英雄歐拉，在數學領域有著非常多的貢獻，他對數學的靈感和操控技巧，讓世人敬佩不已，讓歐拉一舉成名的是一個級數————巴塞爾級數。
在歐拉之前，巴塞爾級數問題困擾了數學界一個多世紀，萊布尼茨是微積分的發明者之一，數學技巧上可謂登峰造極，加上有了微積分這一工具，他對數學級數的操控可謂隨心應手，萊布尼茨甚至還對他的朋友惠更斯說：對於任何收斂的無窮級數，只要其中各項遵循一定規律，我就一定能求出和來。
然後在1673年，英國數學家佩爾拿出巴塞爾級數，一下把萊布尼茨鎮住了，無論萊布尼茨如何絞盡腦汁，也沒有求出巴塞爾級數之和。
然後在1734年，27歲的歐拉，突然就把這個問題解決了，為什麼說突然呢？我們來看歐拉解決巴塞爾級數的方法：
整個過程只用到了兩個簡單的數學知識，只是歐拉使用的技巧太巧妙了，相信能看懂該證明過程的人，無不對歐拉超凡智慧敬佩不已。
黎曼
德國數學家黎曼，是大數學家高斯的學生，都說名師出高徒，高斯的這個學生是真不簡單，他開創了黎曼幾何、解析數論等等新領域。
1859年，黎曼被選為柏林科學院院士，為了表達感激，黎曼向柏林科學院提交了一篇名為“論小於給定數值的素數個數”的論文，正是該論文，讓接下來的數學家忙碌了一百多年，其中有些黎曼看起來理所當然的結論，到現在還未解決。
這篇論文短短几頁，一共出現6個猜想，然而好像黎曼並未把它們看作猜想，而是以“顯而易見”等等詞彙提出來，或者直接拿來用不做任何解釋；後來的幾十年裡，有五個猜想被其他數學家單獨證明出來，其中有些數學家還因此獲得菲爾茲獎，然而最後一個猜想到現在還未證明，這就是大名鼎鼎的黎曼猜想。
這足以看出，黎曼是遠遠超過那個時代的數學家，還有他創立的黎曼幾何，成為後來廣義相對論的數學基礎。
龐加萊
龐加萊是法國著名的數學家、物理學家，是公認的全才人物，也是19世紀末二十世紀初的數學領袖人物，龐加萊從小就是天才，學習知識的能力讓世人震驚。
龐加萊在6歲就熟練掌握了七門語言，超凡的記憶力能讓他清楚背出書本中某個知識點在幾行幾頁，1870年爆發了普法戰爭，龐加萊為了解時局，只花了一週就學會了德文，有人評價龐加萊說：他的存在，就是證明天才是存在的，別人努力一輩子，他只需要努力一下子。
陶哲軒
陶哲軒是當今還在世的一位數學家，擁有極高的智商，4歲時他在幼兒園就把全部小學課程學完，7歲自學微積分，12歲獲得國際數學奧林匹克競賽金牌，15歲取得碩士學位，21歲取得博士學位，31歲獲得菲爾茲獎。
目前數學領域已經高度細化，對數學家來說掌握所有數學領域的知識幾乎是不可能的事，然而陶哲軒卻是個例外，他在數學的很多領域有突破，被喻為“數學界的莫扎特”。
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艾伯史密斯
要是問最頂尖的數學家可以厲害到什麼地步？怎麼說呢，大概就是為所欲為，對，就是為所欲為。
如果說到有哪一類人可以作為整個人類智力的巔峰，那麼這一類人一定是數學家，大家都沒什麼意見吧。事實上，你所能夠想到的最聰明的人基本上也都是數學家。我們不去談論那些眾所周知的頂級大神，比如，歐拉，高斯，牛頓，這些人早已封神，他們的能力已經不用再說。
我們來講講一個頂尖數學家應該要有的條件。
無與倫比的創造性
這一點上，伽羅瓦應該是代表。一個僅僅從事5年數學研究的少年，就可以創造出當今數學界最偉大的理論——群論。這是一個高斯，柯西等大家們都難以理解的高深理論。有了這個理論，伽羅瓦終結了一個橫亙在數學界幾百年的重大難題——一元五次方程是否有根式解。
這個問題其實之前被許多數學家研究過，在伽羅瓦之前有魯菲尼，一位愛好的醫學院校長，用了洋洋灑灑五百頁的論文來論述這個問題，認為是沒有根式解的。然而，即使他用了這麼長的篇幅，還是被人發現有很多缺陷。因此，雖然他做了許多開拓性的工作，但是並沒有從根本上解決這個重大難題。後來到了拉格朗日這兒，拉格朗日也在苦苦追求五次方程的根式解。在研究過程中，他發明了一種方法可以把四次降成三次方程，再又三次降成二次，然後能求解。他以為五次方程也可以同樣對待，然而，很快他就發現路子行不通，用同樣的方法對待五次方程，結果居然會轉化成六次方程。所以他失敗了，於是，拉格朗日隱約覺得，五次方程根式解好像是不存在的。然而只是猜測，並沒有人給出完整解釋。
於是一位21歲的年輕人帶著他的伽羅瓦理論出場了，有必要說一下，伽羅瓦理論是數學史上唯一一個以發現者命名的理論，足見其重要程度。伽羅瓦用置換群的方式證明了，五次以上方程都是沒有根式解的。這一場長久的數學難題比賽終於圓滿結束，桂冠被伽羅瓦拿下。
擁有無與倫比的創造力這是一位頂尖數學家最寶貴的特質，也可以說這一個偉大的特質就註定著某些數學家真的可以以一人之力對抗整個世界。
永不放棄的毅力
這一點上，懷爾斯應該是代表。一個人在自己家裡默默耕耘了7年時間，終於解決了困擾人類350多年的費馬大定理。在這7年裡，除了他妻子，居然沒有任何人知道他的工作。
為了解決費馬大定理，完成他兒時的夢想。他用了18個月時間去熟悉當前數學界對於費馬大定理的研究程度，並且重新學習了很多為費馬大定理解決的數學工具。對於一位已經有不小名氣的數學教授來說，等於是開闢了一個重新的領域，讓他重新學一次數學。
他放棄了所有的娛樂方式，也不去參加一些沒完沒了的數學會議，一心一意撲在這人類最艱深的問題上。懷爾斯充分理解了那些有力的工具，並且做出自己的創新結果來。解決費馬大定理的一個關鍵性問題是要建立橢圓方程和模函數的對應關係，這一步，懷爾斯用了差不多2年時間。這也是解攻克費馬大定理的第一塊多米諾骨牌。
後來，懷爾斯充分掌握了群論這個偉大的工具，又最終花了差不多5年時間，攻克了谷山志村猜想。這裡的谷山志村猜想是50年代給出的，後來有人發現，證明了谷山志村猜想和費馬大定理等價。於是7年過去，費馬大定理終於被懷爾斯永遠踩在腳下了。
看一下懷爾斯這7年都在做著什麼樣子的生活。他彷彿就像一個孤獨的鬥士，把自己與整個世界分割開來，只在自己的世界裡不斷訓練自己，從不停息。
然而數學研究從來都不是你努力，就肯定能作出成果的，就算窮其一生，卻沒有攻克的難題實在是太多了。懷爾斯當然深諳這個殘酷的道理，很有可能，他到死也沒有解決費馬大定理。由於他的與世隔絕，可能除了他的妻子，這個世界上再也不會有人知道曾經有個人離費馬大定理的解決如此接近。
我們可以說懷爾斯是幸運的，但是和他的毅力和創造力相比，這一份幸運根本不值一提！
解決問題的驚人實力
這個世界總有一些人，你平時看他不顯山不露水，甚至看起來邋里邋遢，完全沒有一點成功人士的樣子，整天好像也不務正業。但是卻總是能在關鍵時候發揮重大作用，數學家就經常幹這些事情，讓你覺得世界原來可以如此豁然開朗。
今年的華為公司，吸引了全世界的目光，華為公司可以突破美國的封鎖，在5G技術上完全自給自足，並且做到世界最先進，實在太不容易了。美國的封鎖對於華為來說，根本沒有多大威脅。
華為創始人任正非今年接受媒體採訪時說到，我們的公司有700位數學家，800多名物理學家，還有120多位化學家。這些基礎科學領域的專家組合讓華為公司在科研道路上走得更深更遠。
在數學領域，任總說到一個生動的例子。以前在華為公司有一位俄羅斯的小夥子，這位小夥子的生活作風大概就跟上面的描述差不多。天天就在公司裡玩來玩去，完全不像一個正經工作的樣子，沒人知道他整體在忙什麼，後來有一天這個小夥子找到領導，說他在數學上已經2G到3G的技術給突破了。於是華為公司靠著這位小夥子的想法，迅速推出了一系列的3G產品，從而很快佔領了整個歐洲市場。
這位小夥子後來在5G的研究上也貢獻了非常大的力量，據說這位低調的小夥子已經當選了俄羅斯科學院的院士了。假如華為沒有招攬這一位低調的天才年輕人，也就不會那麼快有突破。商戰市場上，把握時機就是最好的利器，遲一天可能都會翻天覆地。這位年輕人就做到了，用自己的研究成果，讓一個公司迅速脫穎而出。
創造力，毅力，還有解決問題的驚人實力是作為頂尖數學家必不可少的三大條件。縱觀歷史上，我們熟知的那些超級大神們，哪個不是如此。有些人天賦異稟，但是後天培養過程中卻逐漸淡薄了學術之心，被世俗困擾，便再也達不到那樣的成就了。
50多年前的美國人都說，錢學森無論在哪裡都抵得上美國陸軍五個師，那麼我們萬分敬仰的頂尖數學家也絕對不差。如果這個世界上能多一些真正的數學家，在這批數學家之間能誕生出幾位真正的頂尖數學家，那麼世界一定比現在還要好！
徐曉亞然
唐代有個和尚叫一行，世稱僧一行。有一次僧一行在某領導家喝酒，有個圍棋國手在席。宴後，國手與另一個高手對弈，輕鬆勝出。僧一行旁觀了這一局後，說，我來和國手下！重新開局後，國手下得舉步維艱，最終險勝了僧一行。國手問僧一行從何時學棋，僧一行說從來沒學過，就是剛才看你和高手下棋才學的。僧一行還說，我有四句口訣，只要記住了就能成為高手或者國手。可惜這四句口訣沒能流傳下來。圍棋本身就是數學問題的一種，僧一行能做到短時間內掌握圍棋的內在規律，應該是當時的數學大神，他還是世界上第一個測量子午線長度的人。
小王公路設計
沒有見過這麼牛的，當了近二十年學生，就被女兒的同學，一個十一歲的小姑娘給嚇住了。女兒三年級去參加奧數班，其實主要還是輔導小學的數學課程。同桌的孩子是同級不同班的傳說中的別人家的孩子，我和老婆鼓勵孩子多跟她交往。這個小女孩領悟力特別強，老師很多時候，剛剛提醒了一下，別的孩子還沒有明白，這個孩子就知道了。學習進度也是非常快，很快就把小學奧數的課程全部自學了，每次測驗都是用時最短的，而且都是基本全對。暑假期間，女兒和她在一起寫作業，孩子說跟她完全不在一個頻道上。小學的時候，人家已經在學習高中的一些課程了。初中畢業的時候，這個女孩以壓倒性的優勢，取得了全市第一。
江山影月
普林斯頓的 J. B. Conway。
我們研究生的時候學過他寫的《複分析》。
還活著。
他的辦公室手稿堆成山，柴火垛一樣。
人家問，這麼亂，需要的時候怎麼找啊？
他說，不找。
想起什麼需要的時候都是現推導，比找快。
上世紀初，印度有個年輕人，十幾歲。
擅長做夢。
夢到的都是數學公式。
醒來就嘩嘩嘩地寫。
寫了兩厚本。
隨便一個公式就是頂級猜想的答案。
寫信給英國一數學院士。
倆人書信合作一年。
被邀請到英國。
能證明的公式都是正確的。
哥們後來也成了院士。
回印度省親，染上肺結核。30出頭就死了。
好多公式現在還沒證明。估計都是正確的。
其他的耳熟能詳的一個是伽羅華，一個是阿貝爾。
阿貝爾22歲一篇六頁紙論文取代世界級數學家幾百頁的證明。
頂級貢獻無數。
27歲病逝。
伽羅華自學成才。
16歲才開始接觸數學。
18歲創造了群論。
臨終前夜，把數學的畢生研究拼命手寫下來。
後人整理，發現他開闢了嶄新的一門代數學科。
怎麼死的？
為了女人爭風吃醋，與職業槍手比槍法。
死的時候20週歲半。
拂茵
1、早在愛因斯坦提出關於廣義相對論之前，黎曼幾何就已經創造出了它的理論模型
2、隨手列兩個比較著名的數學家
牛頓，十七世紀最接近上帝的存在
歐拉，數學之神
高斯，數學王子
（具體多牛逼自己查，都是神一樣的存在）
3、數學指引了人類現代科技的發展
ps：
沒有深入的學習數學，就別爭論什麼科學、數學、哲學、神學的了。
別成天瞎掰掰，省的丟人現眼。
某些連高中數學及格水準都達不到，沒受過絲毫高等數學教育的人，何來的資格評論數學？連數學世界的門都沒有邁進去，能懂什麼是數學？
一言以蔽之，數學是本質！
最後補一篇比較出名的英文專著《What is mathematics？》 Richard Courant Herbert Robbins
（大家要的翻譯在圖片裡）漢語版叫《什麼是數學》復旦大學出版社出版
第一章 引論
WHAT IS MATHEMATICS?
Mathematics as an expression of the human mind reflects the active will, the contemplative reason, and the desire for aesthetic perfection. Its basic elements are logic and intuition, analysis and construction, generality and individuality. Though different traditions may emphasize different aspects, it is only the interplay of these antithetic forces and the stmggle for their synthesis that constitute the life, usefulness, and supreme value of mathematical science.
Without doubt., all mathematical development has its psychological roots in more or less practical requirements. But once started under the pressure of necessary applications, it inevitably gains momentum in it self and transcends the confines of immediate utility. This trend from applied to theoretical science appears in ancient history as well as in many contributions to modem mathematics by engineers and physicists.
Recorded mathematics begins in the Orient, where，about 2000 B，C, the Babylonians collected a great wealth of material that we would clas sify today under elementary algebra. Yet as a science in the modem sense mathematics only emerges later, on Greek soil, in the fifth and fourth centuries B.C. The ever-increasing contact between the Orient and the Greeks, beginning at the time of the Persian empire and reaching a climax in the period following Alexander’s expeditions, made the Greeks familiar with the achievements of Babylonian mathematics and astronomy. Mathematics was soon subjected to the philosophical dis cussion that, flourished in the Greek city states. Thus Greek thinkers became conscious of the great difficulties inherent in the mathematical concepts of continuity, motion, and infinity，and in the problem of mea suring arbitrary quantities by given units. In an admirable effort, the challenge was met，and the result, Eudoxus1 theory of the geometrical
continuum, is an achievement that was only paralleled more than two thousand years later by the modem theory of irrational numbers. The deductive-postulational trend in mathematics originated at the time of Eudoxus and was crystallized in Euclid’s Elements.
However, while the theoretical and postulat.ional tendency of Greek mathematics remains one of its important characteristics and has ex ercised an enonnous influence, it cannot be emphasized too strongly
that application and connection with physical reality played just as im portant a part in the mathematics of antiquity, and that a manner of presentation less rigid than Euclid's was very often preferred.
It may be that the early discovery of the difficulties connected with incommensurable quantities deterred the Greeks from developing the art of numerical reckoning achieved before in the Orient. Instead they forced their way through the thicket of pure axiomatic geometry. Thus one of the strange detours of the history of science began，and perhaps a great opportunity was missed. For almost two thousand years the weight of Greek geometrical tradition retarded the inevitable evolution of the number concept and of algebraic manipulation, which later formed the basis of modem science.
After a period of slow preparation, the revolution in mathematics and science began its vigorous phase in the seventeenth century with ana lytic geometry and the differential and integral calculus. While Greek geometry retained an important place, the Greek ideal of axiomatic crys tallization and systematic deduction disappeared in the seventeenth and eighteenth centuries. Logically precise reasoning, starting from clear definitions and non-contradictory? “evident” axioms, seemed immaterial
to the new pioneers of mathematical science. In a veritable orgy of in tuitive guesswork, of cogent reasoning interwoven with nonsensical mysticism, with a blind confidence in the superhuman power of formal procedure, they conquered a mathematical world of immense riches. Gradually the ecstasy of progress gave way to a spirit of critical self- controL In the nineteenth century the immanent need for consolidation and the desire for more security in the extension of higher learning that was prompted by the French revolution, inevitably led back to a revision of the foundations of the new mathematics, in particular of the differ ential and integral calculus and the underlying concept of limit. Thus the nineteenth century not only became a period of new advances, but was also characterized by a successful return to the classical ideal of precision and rigorous proof. In this respect it even surpassed the model of Greek science. Once more the pendulum swung toward the side of logical purity and abstraction. At present we still seem to be in this period, although it is to be hoped that the resulting unfortunate sepa， ration between pure mathematics and the vital applications, perhaps inevitable in times of critical revision, will be followed by an era of closer unity‘ The regained internal strength and，above all，the enormous simplification attained on the basis of clearer comprehension make it possible today to master the mathematical theory without losing sight of applications. To establish once again an organic union between pure and applied science and a sound balance between abstract generality and colorful individuality may well be the paramount task of mathe matics in the immediate future.
This is not the place for a detailed philosophical or psychological analysis of mathematics. Only a few points should be stressed* There seems to be a great danger in the prevailing overemphasis on the deductive-postulational character of mathematics. True, the element of constructive invention, of directing and motivating intuition, is apt to elude a simple philosophical fonnulation; but it remains the core of any mathematical achievement, even in the most abstract fields. If the crys tallized deductive form is the goal, intuition and construction are at least the driving forces. A serious threat to the very life of science is implied in the assertion that mathematics is nothing but a system of conclusions drawn from definitions and postulates that must be consistent but oth erwise may be created by the free will of the mathematician. If this description were accurate, mathematics could not attract any intelligent person. It would be a game with definitions, rules, and syllogisms, with out motive or goal. The notion that the intellect can create meaningful postulational systems at its whim is a deceptive halftruth. Only under the discipline of responsibility to the organic whole, only guided by intrinsic necessity, can the free mind achieve results of scientific value.
While the contemplative trend of logical analysis does not represent all of mathematics, it has led to a more profound understanding of math ematical facts and their interdependence, and to a clearer comprehen sion of the essence of mathematical concepts. From it has evolved a modem point of view in mathematics that is typical of a universal sci entific attitude.
Whatever our philosophical standpoint may be, for all purposes of scientific observation an object exhausts itself in the totality of possible relations to the perceiving subject or instrument. Of course, mere per ception does not constitute knowledge and insight; it must be coordi nated and interpreted by reference to some underlying entity, a “thing in itself，” which is not ari object of direct physical observation，but be longs to metaphysics. Yet for scientific procedure it is important to dis card elements of metaphysical character and to consider observable facts always as the ultimate source of notions and constructions. To renounce the goal of comprehending the uthing in itself,” of knowing the “ultimate truth，’’ of unraveling the innermost essence of the world, may be a psychological hardship for naive enthusiasts, but in fact it was one of the most fruitful turns in modem thinking.
Some of the greatest achievements in physics have come as a reward for courageous adherence to the principle of eliminating metaphysics. When Einstein tried to reduce the notion of “simultaneous events oc curring at different places” to observable phenomena, when he un masked as a metaphysical prejudice the belief that this concept must have a scientific meaning in itself, he had found the key to his theory of relativity. When Niels Bohr and his pupils analyzed the fact that any physical observation must be accompanied by an effect of the observing instrument on the observed object, it became clear that the sharp si multaneous fixation of position and velocity of a particle is not possible in the sense of physics. The far-reaching consequences of this discovery, embodied in the modem theory of quantum mechanics, are now familiar to every physicist. In the nineteenth century the idea prevailed that me- chanical forces and motions of particles in space are things in them selves, while electricity, light, and magnetism should be reduced to or “explained” as mechanical phenomena, just as had been done with heat. The “ether” was invented as a hypothetical medium capable of not en tirely explained mechanical motions that appear to us as light or elec tricity. Slowly it was realized that the ether is of necessity unobservable; that it belongs to metaphysics and not to physics. With sorrow in some quarters, with relief in others, the mechanical explanations of light and electricity, and with them the ether，were finally abandoned.
A similar situation, even more accentuated, exists in mathematics. Throughout the ages mathematicians have considered their objects, such as numbers, points, etc., as substantial things in themselves. Since these entities had always defied attempts at an adequate description, it slowly dawned on the mathematicians of the nineteenth century that the question of the meaning of these objects as substantial things does not make sense within mathematics, if at all. The only relevant asser tions concerning them do not refer to substantial reality; they state only the mterrelations between mathematically "undefined objects” and the rules governing operations with thenr What points, lines, numbers fac tually^ are cannot and need not be discussed in mathematical science. What matters and what corresponds to “verifiable” fact is structure and relationship, that two points determine a line, that numbers combine according to certain rules to form other numbers，etc A clear insight
into the necessity of a dissubstantiation of elementary mathematical concepts has been one of the most important and fruitful results of the modem postulational development.
Fortunately，creative minds forget dogmatic philosophical beliefs whenever adherence to them would impede constructive achievement. For scholars and layman alike it is not philosophy but active experience in mathematics itself that alone can answer the question： What is mathematics?
