例36 如圖5-118，已知：△ABC中，AD是中線，G是AD上的一點，且GD=1/3·AD，BG、CG的延長線交AC、AB於E、F。求證：AE=CE，AF=BF。
圖5-118
分析：本題條件中給出了GD=1/3·AD，也就是GD=1/2·AG，這是兩條線段之間的倍半關係，所以可根據線段倍半關係的定義，作出半線段的兩倍，也就是延長GD到H，使DH=GD（如圖5-119），那就有GH=AG。
圖5-119
而在作出了DH=DG後，由於條件中還給出BD=CD，且BC和AH在D點相交，從而就出現了這兩組相等線段都是位於一組對頂角的兩邊，且成一直線，所以可添加中心對稱型全等三角形進行證明。添加的方法是將這四個端點兩兩聯結起來，並可得這兩條連線必定是平行線，於是聯結CH，這樣在△BGD和△CHD中，就有BD=CD，∠BDG=∠CDH，GD=HD，所以△BGD≌△CHD（如圖5-120），∠GBD=∠HCD，BG∥HC。那麼在△AHC中，由AG=HG和GE∥HC，就可證得AE=CE。根據同樣的道理，聯結BH後，也可以證明AF=BF。
圖5-120
本題在根據線段倍半關係的定義開始進行分析時，也可以將倍線段兩等分，也就是取AG的中點H後，可得HG=DG。但在出現了這兩條線段相等的關係後，由於HD和BE相交於G，所以這兩條相等線段就位於一組對頂角的兩邊且成一直線，從而就可添加中心對稱型全等三角形進行證明，添加的方法是過兩條相等線段的端點作平行線。於是過H作BD的平行線交BE的延長線於M，即可根據∠BGD=∠MGH，DG=HG和∠BDG=∠MHG，證得△BGD≌△MGH（如圖5-121），MH=BD=CD。
圖5-121
但在作出HM∥DC後，在△ADC中就出現了三角形內一條邊的平行線段，從而可應用平行線型相似三角形進行證明。於是設HM交AC於N，就可得△AHN∽△ADC，AN/AC=HN/DC= AH/AD=1/3。而HM=DC，所以NM/DC=2/3，而DC=1/2·BC，這樣又可得NM/BC=1/3。由NM∥BC又可得△NME∽△CBE，EN/EC=NM/CB=1/3。也就是EN/CN=1/4，AN/CN=1/2，從而可證明EN：AN：CE=1：2：3，所以分析可以完成。
本題在過AG的中點H作BC的平行線交AC於N，交BE的延長線於M後，可得MH=BD，HN/DC=1/3，MN/BC=1/3，EN/EC=1/3。接下來由於要證E是AC的中點，而已作H是AG的中點，出現了多箇中點問題，所以可應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由於E、H所在的線段AC、AG具有公共端點A，可以組成三角形，所以HE這兩個中點的連線就是三角形的中位線，現在圖形中是有三角形而沒有中位線，所以應將中位線添上，於是聯結HE，問題就成為要證HE∥GC。又因為G是DH的中點，所以GC也成為過中點的平行線，從而GC也可以取作中位線，於是將三角形添完整，也就是延長HE交BC的延長線於K（如圖5-122），那麼證HE∥GC的問題就轉化成要證DC=CK，但已證MH/BC=1/2，而由HM∥BK，又可證△MHE∽△BKE，MH/BK=ME/BE=NE/CE=1/3，所以DC=CK可以證明。
圖5-122
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