引言：這是十多年前寫的一篇文章，也被拿去評為市一等獎。寫該文源於教材放棄了“擴大幾倍”“縮小几倍”的說法，而這一放棄給教學帶來極大的不便的同時，還存在不少弊端，這段時間又在頭條看到一些關於這個話題的文章，覺得確實有必要在教材中恢復原來的說法，讓國語在表達有關數學變化時不再那麼令人尷尬。舉一個例子：0.6×100÷10，以前教材是這樣表述的：0.6擴大100倍再縮小10倍。按現在的“規範”說法怎麼說呢？0.6擴大到原來的100倍再縮小到原來的十分之一？這顯然是不對的！要說清楚可能得說：0.6擴大到原來的100倍，再將擴大後的數縮小到它的十分之一。很簡單的一個意思這麼難說清楚了，這不悲哀嗎？
論“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”的科學性
飄浮的雲
“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”被人提出異議，從而導致“擴大幾倍”“縮小几倍”的說法從教材中消失，同時也給教學帶來了種種不便，給相關的種種表述帶來衝擊。在有異議的人中，有人將“擴大幾倍”視為“增加幾倍”，“縮小几倍”視為“減少幾倍”，從而認為“擴大幾倍用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”是錯誤的。也有人從一個錯誤的角度去理解，認為“縮小几倍”是不合語法和邏輯的。
其實，“擴大幾倍”與“增加幾倍”，“縮小几倍”與“減少幾倍”是有本質區別的。只要正確地領悟了“擴大幾倍”與“縮小几倍”的數學本質，我們就能正確地解讀“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”，同時也能真正體會到這一定義的科學性，還能夠讓對這一說法有異議者發現自己的錯誤。
薛教授在搜狐博客(xmf39.blog.sohu.com)的第102篇中已經從數學理論的角度對“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”的異議問題作了很好的回答。拙文只想從比較淺顯的生活語言角度談談自己的一些看法，但願能幫助人們更好地理解“擴大幾倍”和“縮小几倍”的數學本義。
為了討論的方便，先將幾個人們的一般習慣列舉出來以供後面引用，這裡所說的“習慣”是一種為絕大多數人所認同的，是對人群而言，而不是對某一個人而言。當然下述習慣是否成立，是可以通過調查進行確認的。
【相差數習慣】比較兩個數的大小關係時，人們一般是用較大數減去較小數得到相差數，並說兩個數相差幾。
【倍數習慣】比較兩個數的倍數關係時，是用較大數除以較小數，說較大數是較小數的幾倍；並用較小數除以較大數，說較小數是較大數的幾分之幾。也就是說一般情況下，幾倍是大於１的倍數，幾分之幾是小於1的倍數，而1倍則是沒有變化。
【圖形縮放習慣】在無變形（扭曲）的條件下，把一幅圖變大，會說圖形被放大了；把一幅圖變小，則說圖形被縮小了。
【縮放幾倍習慣】“擴大幾倍”人們會根據【倍數習慣】乘以幾，“縮小几倍”則會根據【倍數習慣】是除以幾。
【縮放幾分之幾習慣】人們會根據【倍數習慣】說“擴大幾分之幾”是“增加幾分之幾”的意思。還會說“縮小几分之幾”是“減少幾分之幾”的意思。
【迴避習慣】對於“擴大1倍”有人認為是“增加１倍”的意思，也有人認為是沒有變化。“縮小1倍”則有的人會認為全沒了，而有的人則會認為沒有變。因此，“擴大1倍”“縮小1倍”是不能稱為習慣的，而是有歧義的說法，人們一般會迴避。
一、“擴大幾倍”“縮小几倍”對於乘除法相當於“增加幾”“減少幾”對於加減法，都是人們為了描述數量變化的需要而產生的。
在數學中有一類基本的數量變化，它是直接用加減法來計算的，不妨稱這種變化為按數值的變化。人們表述這類變化時使用“增加幾”、“減少幾”這樣的語句。
【例1】一個數加上5，我們會說這是增加5；一個數減去5，我們會說這是減少5；增加幾與減少幾是互為相反的變化。
【例2】將一個數增加5，可以加上正5，也可以減去負5；將一個數減少5，可以減去正5，也可以加上負 5。正負5的作用正好相反。
因此，我們可以在數學中作以下定義：
【定義１】某數加上一個數N，叫做某數增加Ｎ；某數減去一個數N，叫做某數減少Ｎ。
【性質１】一個數增加Ｎ再減少Ｎ，這個數不變；一個數減少Ｎ再增加Ｎ，這個數也不變。［證明略］
在數學中，還有另一類數量變化，它是直接用乘除法來計算的，不妨稱這類變化為按倍率的變化。
人們用“增加5”和“減少5”來表達數學中“加上5”和“減去5”這種按數值的變化。同樣，人們也需要表達“乘以5”和“除以5”這種按倍率的變化。事實上，人們早就選擇了用“擴大5倍”和“縮小5倍”來表達“乘以5”和“除以5”的這種按倍率的變化。
【例3】一個數乘5，是將這個數擴大5倍；一個數除以5，則是將這個數縮小5倍；擴大與縮小是互為相反的變化。
【例4】將一個數擴大5倍，可以乘5，也可以除以1/5；將一個數縮小5倍，可以除以5，也可乘1/5。此時，1/5與5的作用相反。
根據表述的需要，我們因此可以在數學中作一個定義：
【定義２】某數加上乘以一個數n，叫做某數擴大n倍；某數除以一個不為0的數n，叫做某數縮小n倍。
【性質２】一個數擴大n倍再縮小n倍（n不為０），這個數不變；一個數縮小n倍再擴大n倍（n不為０），這個數也不變。［證明略］
從上面的４個例子和兩個性質中，我們可以看出：倒數對於乘除法相當於相反數對於加減法；擴大幾倍、縮小几倍對於乘除法相當於增加幾、減少幾對於加減法。
二、擴大幾倍、縮小几倍與增加幾（倍）、減少幾（倍）的在圖片縮放中效果是截然不同的。
【例5】在一幅圖片中，每一個點都有一個座標(x,y)（x,y的值以下統稱座標值）。當把圖片放大時，各點的座標值乘以一個大於１的數；把圖片縮小是則乘一個小於１且大於０的數（或除以一個大於1的數）。
當n>1時，把原圖中各點的座標值都乘n再用原來的顏色畫出來，這正好符合把圖放大了這一客觀事實，並且人們通常都是說這是把圖放大n倍；而把原圖中各點的座標值都除以n再用原來的顏色畫出來，也一樣符合把圖縮小了這一客觀事實，並且人們總是說這是把圖縮小n倍。人們的這些說法，與【定義２】是一致的，也符合【倍數習慣】和【縮放幾倍習慣】。
而當1>n>0時，由於不符合【縮放幾分之幾習慣】，所以人們不會直接說放大幾分之幾和縮小几分之幾，而是根據【倍數習慣】並求出n的倒數，再說放大幾倍或縮小几倍。
【例6】如果將一幅圖中各點的座標值都增加幾或減少幾再用原色畫出來，結果是圖的大小沒有變化，只是位置發生了變化。
以上兩個例子揭示了“擴大幾倍”“縮小几倍”與“增加幾”“減少幾”在圖形變化中產生的效果是截然不同。
【例７】如果將一幅圖中各點的座標值都增加n倍，再用原色畫出來，圖也是放大了，並相當於【例5】說法的放大(n+1)倍。
但是將一幅圖中各點的座標值都減少n倍，再用原色畫出來，則會得到不同的效果。可以證明，當n>2時，圖是放大了而不是縮小了，並旋轉了180度。只有當1>n>0時，圖形才是縮小了並沒有旋轉。
【例７】揭示了【定義２】所規定的“擴大幾倍”與“增加幾倍”是有區別的，“縮小几倍”和“減少幾倍”則可能完全不同了。如果將“縮小几倍”等同於“減少幾倍”，在圖形的處理上“縮小几倍”則可能會產生可怕的效果：圖不但放大了，還旋轉了！這說明【定義２】符合【圖形縮放習慣】和【倍數習慣】，而將“縮小几倍”理解為“減少幾倍”則會不符合【圖形縮放習慣】。
三、“擴大幾倍”“縮小几倍”正如“增加幾”“減少幾”，在語法和邏輯上也是合乎常理的。
也有人認為“縮小几倍”有語法或邏輯上的錯誤。其實，只要用正確的思想去解讀“擴大（縮小）幾倍”，我們將發現，語法和邏輯都不存在問題。
我們知道，比較兩個數可以得到兩種基本結果：一種是倍數（率），另一種是相差數。前者用除法計算，後者用減法計算。比較兩個數的關係一般情況下是用較大數除以較小數或用較大數減去較小數，即【相差數習慣】【倍數習慣】。特殊情況除外，比如“5是10的幾分之幾”、“5比10多多少”等。也就是說，通常【定義１】中的“幾”為正數、【定義２】中的“幾倍”為大於１的倍數，後者也符合【倍數習慣】。
以5倍為例。 “擴大5倍”描述的一種變化就是：一種由小變大的變化（擴大），所述變化前後的兩個數存在一個倍數為5的關係（5倍），因此，這種變化就能被理解為：將原數乘以5得到變化後的數。同理，“縮小5倍”能夠理解為：將原來的數
除以5得到變化後的數。因此，“擴大幾倍”和“縮小几倍”並沒有什麼語法或邏輯上的錯誤。如果用上述方法去分析理解“增加5”和“減少5”，是類似的。比如，“減少5”是“一種由多變少的變化（減少），所述變化前後的兩個數存在相差數為5的關係（5）”，也就是：原數減去5得到變化後的數。
可見，在語法和邏輯上，增加（減少）幾與擴大（縮小）幾倍是類似的。
其實，如果只是從數學定義的角度來說，分析其語法或邏輯是多餘的。因為“擴大幾倍”“縮小几倍”是什麼含義只是一個數學規定而已，它完全可以與相應的文字意思有點不同，如果完全相同就不必再定義了。之所以作上述分析，是想說明有關數學定義是允許顧名思義的，只要顧、思得當就行。當然，對於許多科學概念如果只是顧名思義可能就要犯錯誤了。
四、“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”有很高的實用價值。
眾所周知，有了【定義２】，我們就能通俗易懂、簡明扼要地描述數學中的許多規律、法則，也能更好地解說許多數學道理，還能方便地描述圖形的放大和縮小等等。相反，如果擴大幾倍等於增加幾倍、縮小几倍等於減少幾倍，則會使相關描述中存在一系列語言文字上的障礙和理解上的困難，以及圖形縮放的困惑等一系列問題，更可怕的是會造成數學體系的部分重寫，而數學是一切科學的工具，這一重寫涉及的面就會更大了。
五、“擴大1/5等於縮小5倍”正如“增加-5等於減少5”。
【例8】設原數為100，根據【定義１】和【定義２】，得：
原數增加5為105，減少5為95；減少-5為105，增加-5為95。
原數擴大5倍為500，縮小5倍為20；縮小1/5為500，
擴大1/5為20。【例9】如何理解上述變化中看似不合理的數學結論？
我們知道，減去一個數等於加上這個數的相反數；除以一個數不為0的數等於乘以這個數的倒數。加上一個數等於減去這個數的相反數；乘以一個不為0的數等於除以這個數的倒數。
增加與減少相反，在加上或減去一個數中“5”與“-5”運算效果相反，因此，這種情況下可以說“5”與“-5”互為相反。
因此，“減少-5”就是“減少5的相反”也就是“增加5”。
同理，“增加-5”就是“增加5的相反”也就是“減少5”。
類似地，擴大與縮小相反，也就是說擴大是縮小的相反，縮小是相反的擴大。在乘以或除以一個數中“1/5”與“5倍”的運算效果正好相反，這種情況下可以說“1/5”與“5倍”互為相反。
因此，“擴大1/5”就是“擴大5倍的相反”也就是“縮小5倍”。
同理，“縮小1/5”就是“縮小5倍的相反”也就是“擴大5倍”。
由此可見，“縮小1/5等於擴大5倍”與“減少-5等於增加5”不僅從形式上驚人相似、從運算上完全正確，而且從語義上的推敲上也是一樣講得通的。
“100減少-5為105”，“減少”反而“增加”了，讓人覺得不可思議，只因為人們忽略了負號的“反”作用。“100縮小1/5為500”則更是不可思議了，其實也是因為人們忽略了起“反”作用的倒數。
以上我們利用相反、相似的思想，解讀了“擴大1/5等於縮小5倍”這一令人費解的數學結論。我個人覺得，相反、相似思想在許多場合能幫助我更好地理解事物，大家不妨一試。
從上面的分析，我們還可以看出：在一般情況下“擴大縮小”“增加減少”只要顧名思義就行了，但在特殊情況下，顧名思義就可能“不可思議”了。其實許多的“不可思議”也並非真的不可思議，只是我們的思想、方法、知識、技術等沒有達到某一要求而已。
六、習慣使人們對“擴大幾倍”“縮小几倍”的理解產生了歧義。
在【例8】【例9】中為什麼會出現不符合【縮放幾分之幾習慣】的數學現象呢？
由於許多人都習慣於顧名思義，從而覺得“增加-5”不但沒有“增加”反而“減少”了，難以理解。而對於“擴大1/5”不但沒有“擴大”反而“縮小5倍”，則幾乎覺得無法理解了。與“增加-5”和“減少-5”有所不同的是，“擴大1/5”和“縮小1/5”因“無法理解”而被多數人重新定義，此時將“擴大”理解為“增加”，“縮小”理解為“減少”。比如，更多的人將“100縮小1/5”理解為“100減少1/5得80”，“100擴大1/5”理解為“100增加1/5得120”。這樣人們就有了【縮放幾分之幾習慣】。可是另一方面，由於【縮放幾倍習慣】更多人還是說“50擴10倍是500”，“50縮小10倍是5”。
但是【縮放幾分之幾習慣】、【縮放幾倍習慣】、【迴避習慣】從數學本身的角度來看是矛盾的。因為數學中，分率的變化是很容易突破【倍數習慣】的限制的，因為許多情況下分率的取值是不可知的，從而不知道應按哪個習慣來說。因此，這個歧義在數學中是不應該存在的。
七、從語言使用和科學體系看，歧義可能帶來混亂和災難。
從上面的分析可知，歧義的產生來源於對“擴大（縮小）1/5”之類說法的重新定義。現實情況是，多數人會說“50擴大10倍是500”、“50縮小10倍是5”、“50擴大1/5是60”、“50縮小1/5是40”等。也就是說，一般情況下，是不會發生誤解的。但是，單純地從“1/5”到“1倍”到“2倍”再到5倍這樣想下去，結果就會否定“50擴大10倍是500”也會否定“50縮小10倍是5”。而反過來想，從“50擴大10倍是500”出發，就會否定“50擴大1/5是60”這種多數人認為正確的命題。
在認同多數的上述理解的條件下，當用兩種思路同時考慮時，無論對個體還是數學學科，原來構建的大廈都有面臨崩潰的危險，因為在邏輯上將陷入自我矛盾之中。對社會而言，則會造成人群中對“擴大幾倍”“縮小几倍”的不同理解，從而造成語義上的混亂，用“擴大幾倍”和“縮小几倍”描述的一些問題則會產生不同答案。這都是因為【縮放幾分之幾習慣】、【縮放幾倍習慣】和【迴避習慣】三者之間的內在矛盾而產生的。
從上述意義上說，有人提出要徹底否定“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”也是可以理解的，因為只有消除歧義才不會陷入自我矛盾之中。但是，這個的否定則會要求數學體系的部分重建、教材的改寫、全民重新學習、對過去的出版物進行糾正、把簡單明確的句子說得羅嗦等等，我們能滿足這些要求嗎？這就不能不讓人們思考：這種要求合理嗎？這種否定合理嗎？
八、否定“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”是本末倒置。
從分析中我們可以看到，“擴大幾倍”和“縮小几倍”產生的歧義根源在於人們沒有正確理解“擴大1/5等於縮小5倍”之類的數學事實，從而將“擴大1/5”視為“增加1/5”，“縮小1/5”視為“減少1/5”。但是，“擴大幾倍”和“縮小几倍”的本義與“增加幾倍”和“減少幾倍”是有質的區別的，是描述數量變化的需要的產物。所以，否定“擴大幾倍就用幾乘”和“縮小几倍就用幾除”，就是要否定本義，維護將“擴大幾倍”視為“增加幾倍”、將“縮小几倍”視為“減少幾倍”的這種“新義”，所以說是本末顛倒。
也有人認為“擴大幾倍”“縮小几倍”的本義只是小學數學需要的產物，在中學、大學則可以還其“真正的本義”了。我個人認為，如果這個所謂的“真正的本義”和小學數學中的本義不矛盾並加以拓展，那是可以的，因為小學數學的眾多概念的生成都是螺旋上升的，比如乘法的意義就是一例。相反，不是拓展而是否定的話，那麼這種想法對學生而言，就和做好了二樓就可以把一樓拆了的想法沒什麼兩樣了。
九、面對現實，還“擴大幾倍”和“縮小几倍”本來面目。
前面談過“擴大幾倍”和“縮小几倍”的本義就是為了描述一個數乘以幾和除以幾這類按倍率的變化，從上述論述中還能看出這一本義的必要性、合理性和實用性等，因此“擴大幾倍就是用幾乘”和“縮小几倍就是用幾除”是一對具有科學性的定義。在“擴大1/5”和“縮小1/5”之類說法上，我們有一錯，從而讓科學的定義產生了歧義。如果再錯進而否定原來的定義，我們就只能失去這個科學的定義了，同時帶來表述上的麻煩、語義上的混亂、系統上的重建等一系列的問題，這不能不說是一種災難。
如前所說，現在教材採取的策略是迴避。我們知道，迴避根本不是辦法，只能更亂，否定則是災難。因此，只有堅持真理，才能走出“迴避不是辦法，否定帶來災難”的困境。
在此，盼望各出版社儘快把教材改回原來的正確說法。還要讓人們明確“擴大幾倍”和“縮小几倍”的本義，要有區分“擴大”與“增加”、“縮小”與“減少”的意識，儘量避免使用“擴大1/5”之類說法，針對不同含義採用“縮小5倍” 或“增加1/5”之類說法。要避免的原因在於我們不能無視“擴大1/5”之類說法被多數人重新定義過這一客觀現實。可喜的是，現在不少人已認識到這一問題，在生活用語中已經自覺地這樣做了。
同時還應看到的是，將縮小與減少、降低等混為一談從而說出一些錯句之類現象依然存在，因此教材更應該承擔起這個糾錯責任，而不應該回避。
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