【知識要點】
1．二次函數的圖象．
用描點法畫出二次函數的圖象，如圖，
它是一條關於軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.
2．二次函數的有關性質.
因為拋物線關於軸對稱，所以軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線的頂點是圖象的最低點，因為拋物線有最低點，所以函數有最小值，它的最小值就是最低點的縱座標.
3．二次函數的圖象畫法.
用描點畫二次函數的圖象時，應在頂點的左、右兩側對稱地選取自變量的值，然後計算出對應的值，這樣的對應值選取越密集，描出的圖象越準確.
4．二次函數的性質.
二次函數的性質，見下表：
函 數
圖 象
開口
方向
頂點
座標
對稱軸
函數變化
最大（小）值
向上
（0，0）
軸
時，隨增大而增大；時，隨增大而減小.
當時，
.
向下
（0，0）
軸
時，隨增大而減小；時，隨增大而增大.
當時，
.
注：的大小決定拋物線的開口大小，越大，拋物線開口越小；越小，拋物線開口越大.
【經典例題】
例1．（1）在同一直角座標系中，畫出下列函數的圖象： ①；②;③； ④ （2）從解析式、函數對應值表、圖象三個方面對比，說出解析式中二次項係數對拋物線的形狀有什麼影響？
例2．已知函數關於的二次函數，求：（1）滿足條件的值；
（2）為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當為何值時，隨的增大而增大？
（3）為何值時，函數有最大值？最大值是多少？這時當為何值時，隨的增大而減小？
例3．函數的圖象與直線交於點，求：
（1）和的值； （2）求拋物線的解析式，並求頂點座標和對稱軸；
（3）取何值時，二次函數中的隨的增大而增大；
（4）求拋物線與直線的兩交點及頂點所構成的三角形面積.
例4.函數和函數的圖象，在同一座標系中的圖象大致如圖中的（ ）.
一．選擇題：
1．觀察函數的圖象，則下列判斷正確的是（ ）.
A、若互為相反數，則的函數值相同 B、對於同一個自變量，有兩個函數值與它對應
C、對任何一個實數，有兩個和它相應 D、對任意實數，都有
2．已知二次函數下列說法不正確的是（ ）.
A、當時，總取負值 B、當時，隨的增大而減小
C、當時，函數圖象有最低點，即有最小值 D、當時，的對稱軸是軸
3.函數與的圖象（ ）.
A、關於軸對稱 B、關於軸對稱 C、關於直線對稱 D、關天直線對稱
4．在同一座標系中，作函數的圖象，它們共同特點是（ ）．
A、都是關於軸對稱，拋物線開口向上 B、都是關於軸對稱，拋物線開口向下
C、都是關於原點對稱，拋物線的頂點都是原點D、都是關於軸對稱，拋物線的頂點都是原點
5．已知原點是拋物線的最高點，則的範圍是（ ）．
A、 B、 C、 D、
6．二次函數在其圖象對稱軸的右側，的增大而增大，則的值為（ ）.
A、 B、 C、 D、
7．已知二次函數，當，則當時，的值是（ ）．
A、 B、 C、 D、
8．下列四個選項中，哪一個是函數的圖象（ ）.
9．二次函數的圖象如圖，則不等式的解集是（ ）．
A、 B、 C、 D、
二、填空題：
1．若函數的圖象是拋物線，則= ．
2 ．在拋物線上有兩點，若，判斷的大小是 ．
3．直線與拋物線的交點座標是 ．
4．當成正比例，且當時，，則之間的函數關係是 ．
5．如果拋物線和直線都經過點，則 ， ，直線不經過第 象限，拋物線不經過第 象限．
6．若對任何實數x，二次函數的值總是非正數，則m的取值範圍是 ．
三．解答題：
1．已知函數是關於的二次函數，求： （1）滿足條件的值？ （2）為何值時，拋物線有最高點？求出它的座標. （3）當為何值時，隨的增大而增大.
2．已知拋物線與直線交於兩點，其中一點座標是（），求另一點座標．
3．直線與拋物線交於兩點，已知點的橫座標是3，求兩點的座標及拋物線的解析式．
【知識要點】
1．二次函數的圖象畫法．
方法一，用“列表、描點、連線”方法來畫；
方法二，將二次函數的圖象向上或向下平移個單位.當時，向上平移個單位；當時，向下平移-個單位.
2．二次函數的性質
二次函數的性質，見下表：
函 數
圖 象
開口
方向
頂點
座標
對稱軸
函數變化
最大（小）值
向上
（0，c）
軸
時，隨增大而增大； 時，隨增大而減小.
當時，
.
向下
（0，c）
軸
時，隨增大而減小； 時，隨增大而增大.
當時，
.
3．利用二次函數的性質解有關簡單的實際問題.
（1）根據題意建立二次函數關係式，並注意其自變量的取值範圍；
（2）應用二次函數的性質解決相關的實際問題.
【經典例題】
例1．在同一座標系中畫出圖象y=x，y=x+1，y=x－3，並說出它們的位置關係。
通過作圖我們可以得出如下的結論：
性質：y=ax+c的圖象與y=ax的圖象形狀
①其對稱軸為 軸 ②頂點座標為（
, ）③當a>0時，開口 ，圖象有最 點；當x=0時，y有最 值為 ；當a<0時，開口 ，圖象有最 點，當x=0時，y有最大值為c
④當c>0時，是由y=ax向 平移c個單位，當c<0時，是由y=ax向 平移|c|個單位。簡稱“ ”。
例2．（1）拋物線y=－的頂點座標是 ，對稱軸是 。
（2）y=2x－8的頂點座標是 ，對稱軸是 ，開口方向
，當x= 時，y有最 值為 ，這是由y=2x 得到的。（3）y=－8x沿y軸向上平移4個單位得y= ，平移後對稱軸為 ，頂點座標為 。
（4）與拋物線y=－形狀相同，開口方向相同，而頂點在拋物線y=－的頂點上方3個單位的拋物線所對應的函數是： 。
（5）已知函數y=ax與 函數y=－+c的圖象形狀相同，且將拋物線y=ax沿對稱軸平移2個單位就與拋物線y=－+c完全重合，則a= ，c= 。
（6）函數的圖象，可由函數的圖象向 平移 個單位得到.
例3．如圖，一次函數與二次函數在同一座標系中的圖象是（ ）.
例4．已知二次函數的圖象經過點(1,-1),求這個二次函數的解析式,並判斷該函數圖象與x軸的交點個數.
例5 ．已知二次函數正比例函數的圖象有一個公共點是.
（1）求二次函數及正比例函數的解析式； （2）能否找到一個自變量的最大取值範圍，使得二次函數與正比例函數值都隨的增大而增大？若能，寫出這個取值範圍；若不能，說明理由.
一．選擇題：
1．已知二次函數，自變量在什麼範圍內，（ ）.
A、 B、 C、 D、為一切實數
2．函數的性質有（ ）.
A、當為任何實數時，值總為正 B、當值增加時，值也增加
C、它的圖象關於軸對稱 D、它的圖象在第一、三象限內
3．在平面直角座標系中，拋物線與直線相交於兩點，已知點的座標是，則點座標是（ ）.
A、 B、 C、 D、
4．下列四個函數：①；②；③；④.其中，在自變量的允許值範圍內，隨增大而增大的函數的個數為（ ）個.
A、1 B、2 C、3 D、4
5．在半徑4cm的圓中，挖去一個半徑為cm的圓面，剩下圓環的面積為，則與的函數關係為（ ）. A、 B、 C、 D、
6．已知關於的函數關係式為（為正常數，為時間），則函數圖象為（ ）.
7．函數y=ax與y=ax－3的圖象大致為( )
二．填空題：
1．若拋物線開口向下，則= .
2．若拋物線頂點位於軸上方，則 .
3．把函數的圖象沿軸對摺，得到圖象的函數解析式為 .
4．直線與拋物線在第一象限內的交點座標是 .
5．一個長方形周長是50cm，一邊長是cm，這個長方形的面積與的函數關係式是 .
三．解答題：
1．已知是拋物線上的點，求證：點在拋物線上.
2．函數與直線的圖象交於點，求：
（1）和的值； （2）求拋物線的開口方向、對稱軸、頂點座標.
3．直線經過兩點，它與二次函數的圖象相交於兩點，二次函數與的圖象的開口大小和方向完全相同，並且的頂點座標為，求的面積.
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