本文是史寧中談數學的七個問題的基礎上擴充而成！史寧中，東北師範大學資深教授，博士研究生導師，國內著名數理統計學家和教育家，第五屆國家級教學名師。1998年至2012年4月19日任東北師範大學校長.
數學簡介
數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。借用《數學簡史》的話，數學就是研究集合上各種結構（關係）的科學。可見，數學是一門抽象的學科，而嚴謹的過程是數學抽象的關鍵。
數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。也就是說，數學在某種程度上是一個工具。通過數學，來研究別的事情。隨著社會的發展，數學的應用就越來越廣泛了，在我們的日常生活中幾乎隨處可見，而且學習其他學科的時候，也要更多地用到數學。
當然，數學的應用也會激起新的數學發現，並促成全新數學學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端，但之後也許會發現合適的應用。
一、數學專業學些什麼呢？
一類是分析類的，比如像在大學中學習的微積分、實變函數、泛函分析這樣的一類課程；一類跟圖形有關的，比如拓撲學、微分幾何這樣的一類課程；一類是研究隨機現象的，比如概率論，就是一件事情可能發生，也可能不發生，發生的可能性有多大，比如今年的GDP增長，跟去年的GDP之間有什麼關係，我們如何預測一件事情；還有，比如像衛星、反導彈，如果一個導彈過來，這個導彈怎麼打上去，這樣的一類課程。還有方程類課程、代數類與數值計算類課程，比如常微分、偏微分方程、高等代數、近世代數、矩陣論、數值分析等，用來解決變化類問題、計算機數值計算、模擬，算法類問題等.
二、數學思想主要有哪些？
數學思想，我認為有三個：抽象、推理和模型。數學是把現實生活中的一些東西抽象到數學內部來，而數學內部的發展則完全依賴假設和推理，然後再借助模型把數學的結果應用到外部世界。抽象只是針對兩種情況，一是數量和數量關係；二是圖形和圖形關係。抽象之後的東西是如何存在的呢？這就是哲學問題，我稱之為“抽象的存在”。我用這個道理來解析形而上和形而下。其中的“形”是什麼？我認為就是抽象的存在。
什麼是抽象的存在呢？就是當你看到了足球，看到了乒乓球，就會想到圓。但是，如果沒有足球，沒有乒乓球，你腦子裡仍然有個圓，而且你能畫出這個圓來。這個圓絕不是簡單的複製，因為現實的圓是三維空間的，而在紙上畫的圓是二維空間，所依賴頭腦中圓的存在就是抽象的存在。我認為，古代先哲所說的形而上的“形”就是這種抽象的存在。為什麼要在形而上和形而下之間構建一個“形”呢？因為形而上的“道”太遙遠而不可及，形而的“器”太具體而不可信。
推理有兩種，演繹推理和歸納推理。研究演繹推理時，我非常想知道中國古代先哲是如何思考問題的，他們思考的邏輯是什麼。我苦思冥想老子的“道”是什麼意思，孔子的“仁”到底指什麼。後來，突然想到老子說的“道”，孔子說的“仁”，也許只是認識問題的出發點，即“道”就是好的，凡事需從“道”出發，與西方哲學一樣，出發點本身是不用討論的。這或許就是老子所說的“道可道，非常道。名可名，非常名”的真正含義。而對於具體的事物，就可以用這個出發點“道”來進行判斷。
相比西方哲學，中國古代哲學中沒有演繹推理，是一種更實用的哲學。演繹推理是從大命題走向小命題的推理，因此不能用於發現只能用於驗證。那麼，中國古代沒有演繹推理，許多事情是怎麼推理出來的呢？我認為是分類，藉助的思維方法是歸納推理。《繫辭》中說物以類聚。孔子說“仁”，把“仁”分為許多類。大概可以認為，中國古代哲學最高層次的是“道”，其次是“仁”或“德”，再往下是“禮”，“禮”都不在了，整個社會就崩潰了。
三、學習數學對一個人的發展有多大好處？
這個問題也就是：“數學有什麼用？”面對這個問題，世界華人數學家大會主席、著名數學家、哈佛大學教授丘成桐舉了很多例子：研究金融要學好數學，工程技術需要數學，生命科學研究需要數學，大數據的處理需要數學，與國家安全息息相關的密碼科學等也需要數學。他說：“只有不懂數學的人，才會講數學無用論。”
你不一定是一輩子都從事數學的研究，比如你從事經濟學的研究，你習慣於定量分析的話，那你有較好的數學知識就很好；比如對於生物學的研究，如果你對基因的遺傳規律感興趣的話，那你可以學習數學知識；比如對於物理，物理中更多的量化的事情，要感興趣的話，那你學習數學。數學是一個基礎性的學科。
對於一般人來說，數學學習更多的是一種思維的訓練！學習數學一方面學會了計算，一方面學會了比較理性、邏輯的思考問題。數學的思維是一種科學的思維。最重要的當然是邏輯思維。世界上沒有無緣無故的愛，也沒有無緣無故的恨，一件事情如果發生了，一定有其原因。在數學學習尤其是幾何證明時，我們強調每一步的理由，每一個結論都是經嚴格推導得出的。邏輯嚴密的人是理性的，遇到問題，不會慌亂，而是冷靜地思考其背後的邏輯關係。而當要完成一項任務時，也會列出需要達到的條件，並一一去落實。
接著是歸納思維。也就是找規律。我們以前常常做這樣的題目：一個數列，告訴你前面幾個數，讓你寫出後面的數。歸納是一種分析判斷的能力。根據已經掌握的數據發現其背後的原因，根據一個人外表的行為分析其心理活動，根據一個人的態度分析自己哪些地方做得不好。歸納能力強的人比較善於反思。通常相同的錯誤犯了兩次以上，絕對不會犯第三次。
然後是逆向思維。當完成題設推出結論的命題時，反過來想一想，結論能不能推出題設，這就是一種逆向思維。1+1＝2，那麼，2是不是等於1+1呢？當然不一定，那麼，2什麼時候一定等於1+1呢？這就需要加一些條件。例如，把2分解成兩個正整數的和。你和媽媽去商場，把車停在地下車庫。停好車之後，你們去找電梯上樓。你發現地下車庫很大，於是暗暗記住回來的路。結果購物回來，你媽媽不知道去哪裡找車，你給她帶路，這就是逆向思維能力強的表現。
多少個世紀以來，由於人們辛勤鑽研、反覆辯論，數學的各種公式與定理已經得到了千錘百煉，其與邏輯推理深深地緊密交織著，大大地增強了我們處理事務的能力。掌握了數學知識的人，就像戴了一副X射線眼鏡一樣，可以透過現實世界錯綜複雜的表面現象，看清其本質，並將其為己所用。
四、如何對數學產生興趣？
布魯納說過：“學習的最好刺激乃是對學習材料的興趣 。”無論你有多麼和諧的教學氣氛，幽默的教學語言，如果提供的教學材料枯燥無味，那也是徒勞無功的。
對數學產生興趣，就得有貼近學生生活實際的有趣問題，使得在這個問題解決過程中，感覺到一些樂趣。當然產生興趣的因素也不盡相同。作為引導者（教師），看到被引導者（學生）對什麼樣的問題感興趣，比如喜歡音樂，那就探索音樂跟數學什麼關係呢？這個時候，就有非常有趣的故事了！傳說古希臘的一個叫做畢達哥拉斯，這麼一個大數學家，他經過鐵匠鋪的時候，就發現有的鐵匠鋪敲的聲音非常好聽，有的鐵匠鋪不好聽，他就進去研究，後來發現，錘子的重量之間成比例的就和絃，要不然就不和絃，然後他就創造了音樂，音樂就是這個弦拉的一樣緊，這個弦之間成比例關係的話，敲出來的就（和絃），要不然就不（和絃），所以現在的胡琴什麼的，都是這麼樣創造出來的，這就有很有趣了。
因此，根據具體情況，提出具體的問題，探索、引導，感興趣的問題就出現了！從實用性的角度激發學習數學的樂趣. 數學是一種工具學科，不僅是學習其他學科的基礎，同時還是提高人的判斷能力、分析能力、理解能力的學科。這些能力是咱們能夠在正確的時候，做出正確的決定的基礎。
五、學數學要做大量的題目嗎？
學數學不做題是不行的，但是大量做題也不一定是必須的。因為你做的每一道題是經過思考得到的是很重要的，而不是靠訓練得到的，所以建議做一個題做的稍微難一點。只有稍微難一點的題，才能經過認真地去思考，不要做個題10分鐘，20分鐘都能做出來，有時候做一道題，用一天或者兩天時間，做出來的時候，會突然感覺明白了很多事情。只有經過認真思考之後，學到的東西才是自己的，要不它永遠是老師的。
有人認為，數學家整天計算做題。數學家不一定整天計算，不一定是做題，
他在很多時間是在思考，根據現實的情況來構造一個模型，來解釋這個現象，這是很有趣的一件事情，然後在這個模型之後，求解的過程中才是做題。
當然做題剛開始還是要從基礎題入手，簡單的題可以增強自信，然後再找一些較難的習題，提高自己的解題能力，掌握一般的解題規律。對自己做錯的題目要及時改正，而對自己一而再再而三的錯題就要特別加以重視。
弄懂一道錯題往往比做十幾道新題有用。所以，在錯題這方面，尤其需要重視，錯題就是自己薄弱的地方，如果錯題能夠掌握牢固了，自己的數學解題能力一定會有大的提升。買一個活頁本，作錯題集。每一道錯題，寫下解題方法，然後在下面用不同顏色的筆，寫下你的出錯原因，這點很重要。回到課本，找到這個知識點，看看課本是怎麼樣論述的！這個知識點能夠演化出來的類型題有幾種。永遠要記住一點，題目是做不完的，但題型是有限的，只有學會解題反思，才能抓住題型。解題反思不僅僅是對數學解題學習的一般性回顧或重複，而是深究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，從中達到解決一類問題。
有問題在手的時候，學習知識的速度呈指數性增長，沒有問題在手上的時候是線性增長。數學考試並不是僅僅在比誰掌握的知識有多好，還要比誰在考場上的失誤最少。具體如何做題，可以參見如下推文(以下推文來自微信公眾號：考研競賽數學)：
- 怎樣解題：四個步驟告訴你，求解數學題並不那麼難！
- 你知道數學題做完以後還要幹什麼呢？
- 數學考試，你為什麼老是丟分呢？
- 解《高等數學》題原來如同搭積木！
- 你真的，真的做了數學題嗎？
- 你知道做數學題下手的套路是怎麼錘鍊出來的嗎？
- 如何審題：
- 做好數學題的第一步
六、研究數學，最大的樂趣在於什麼？
最大的樂趣，就是有時候研究一個沒辦法解決的事情，後來突然想出來一個辦法，把它解決掉了以後，用起來很好用的時候，會感到非常高興。就是前一段時間，來解決一個叫做市長公開電話，就是市民給市長打電話，打完電話之後呢，接聽員聽了之後，希望通過計算機自動分類，說這件事情是哪個區處理的，這個事情是公安局處理，這個事情是民政部處理……這樣的事情。用計算機能不能處理這件事情。一開始覺得沒有辦法，後來想出來一個辦法，把這件事情處理了。而且計算機會自動學習，原來分辨率是60%多，越來越好，越來越好，現在90%多了，這個時候你會感覺非常高興。就是數學，剛才我們談到了，數學是應用非常廣泛，比如現在網頁搜索，這些東西底下都是數學。
七、學習數學最重要的是什麼呢？
我給學生們的建議有兩個，一個是要有興趣，在學習的過程中，特別是克服了困難過程中，你感到樂趣這是很重要，因為興趣是學習的最根本的動力。還有一個學習數學要會思考，尤其剛才說的希望理性思維，這樣的才適宜學數學。
另外要注重基礎計算能力。計算能力是學習數學和其他學科的重要基礎：數學中有些概念的引入需要通過計算來進行，數學中解決實際問題的解題思路、步驟、結果也要通過計算來落實。做習題幫自己理清頭緒，幫助自己複習、思考、維持大腦運轉。
數學的精隨不是做題的數量，而是掌握思想。一題多解，多的是看問題的角度、分析的切入點、思考的層面，但這都是同一事物的不同側面，最後都匯聚到統一真理結論上。要注重相互對比和借鑑的不同的思維方式，留意它，模仿它，瑣碎的知識就會串成了一條項鍊。
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