25.(9分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x﹣与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(3)如图2,过顶点D作DD1⊥x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个?
【分析】(1)利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标;
(2)欲证明四边形BFCE是平行四边形,只需推知EC∥BF且EC=BF即可;
(3)①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标,没有指明相似三角形的对应边(角),需要分类讨论;
②根据①的结果即可得到结论.
【解答】解:(1)令x2+x﹣=0,
解得x1=1,x2=﹣7.
∴A(1,0),B(﹣7,0).
由y=x2+x﹣=(x+3)2﹣2得,D(﹣3,﹣2);
(2)证明:∵DD1⊥x轴于点D1,
∴∠COF=∠DD1F=90°,
∵∠D1FD=∠CFO,
∴△DD1F∽△COF,
∴=,
∵D(﹣3,﹣2),
∴D1D=2,OD1=3,
∵AC=CF,CO⊥AF
∴OF=OA=1
∴D1F=D1O﹣OF=3﹣1=2,
∴=,
∴OC=,
∴CA=CF=FA=2,
∴△ACF是等边三角形,
∴∠AFC=∠ACF,
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,
∴∠ECF=∠AFC=60°,
∴EC∥BF,
∵EC=DC==6,
∵BF=6,
∴EC=BF,
∴四边形BFCE是平行四边形;
(3)∵点P是抛物线上一动点,
∴设P点(x,x2+x﹣),
①当点P在B点的左侧时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣11或x1=1(不合题意舍去)x2=﹣;
当点P在A点的右侧时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴=或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=﹣(不合题意舍去);
当点P在AB之间时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴=或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=﹣;
综上所述,点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣;
②由①得,这样的点P共有3个.