我完成了一座紀念碑；它比青銅澆鑄的還要堅固耐久．比國王建
造的金字塔更加雄偉高大。無論是侵蝕的雨還是狂暴的北風，也無論
是數不清的漫漫歲月或飛馳的時代，都難以動它分毫。我不會全部地
死亡；我更崇高的部分將擺脫死神之手；我將永遠成長，在後世的贊
美聲中閃閃發亮。
——賀拉斯
腳踩兩個怪物的大力士
在挪威首都奧斯陸的皇家公園裡，聳立著一座引人注目的雕像。
一位赤身裸體的大力士，腳下踩著兩個怪物。這兩個怪物是什麼?
眾說不一。有的說，它們是貧困和死亡；有的說，它們代表數學兩
個最重要的問題：橢圓函數論和用根式解代數方程。
不過，誰都知道，這位力大無比的力士不是別人，他是挪威人
民的偉大兒子——尼爾斯·亨利克·阿貝爾。
其實，阿貝爾本人並不是大力士。恰恰相反，貧困和勞累使他
從小就體弱多病；可怕的結核桿菌很快吞噬了他年輕的生命。
但是，在他文弱的身體裡，蘊藏著無比的力量。雖然他在世上
只生活了短短 26 年零 8 個月，卻作出了震撼世界的偉大事業。他和
雅可比一起創立橢圓函數理論，並且第一次證明了一般高於四次的
代數方程的根式解的不可能性。阿貝爾所留下的思想，用法國數學
家埃爾來特的話來說，它足夠後來的數學家忙碌 150年！
憧憬未來
19 世紀初，丹麥和它的附庸挪威同瑞典發生戰爭。瑞典是 1523
年從它們原先的三國卡爾馬聯合中分離出去的。仗斷斷續續地打
了好幾年。瑞典仰賴英國的支持，終於取得優勢。1814年，失敗的
丹麥把挪威割讓給瑞典。戰爭以後，任人宰割的挪威滿目瘡痍，疲
憊不堪。在那些年月，一個鄉村牧師，沒有生財之道，是很難維持
一家幾口的溫飽的。1802 年 8月 5 日，尼爾斯·亨利克·阿貝爾正
是出生在這樣的一個牧師家庭。阿貝爾家祖輩幾代在教會工作。父
親曾經就學于丹麥大學，表現出相當的才能。但是，大概是因為不
善鑽營，只好在克里斯蒂安遠郊的一個小村芬諾做牧師。繼次子
尼爾斯以後，又接連有 5 個小生命出世。做牧師的父親告求無門，
一家 9 口只好眼睜睜地苦熬著。阿貝爾家在村裡窮得出了名；貧困
的陰影籠罩了阿貝爾一生。不過，這只是家庭影響的一個方面。
從生理學的觀點來看，人從母親那裡所受的影響是根本的。尼
爾斯從母親那裡繼承了兩個特徵：其一是動人的美貌。那是明擺著
的。在柔軟的灰色頭髮下，一張洋溢著才氣的俊秀的臉龐，神情略
帶羞怯，誰見了都不由得要多看上兩眼。另一個特徵可不是一兩句
話就說得清楚了。安娜·瑪利亞·西蒙松沒有什麼可以稱道的業績，
主要以美貌著稱。在有些人看來，她好享受，甚至有些瘋癲；這似
乎和她的鄉村牧師妻子的身分不大相稱。不過有誰論證過，鄉村牧
師的妻子就應該無盡無休地辛苦勞累一輩子，而不能有一點對人生
歡樂的追求呢?安娜不願孩子們在貧困中失去歡笑。雖然難得溫飽，
她有時候還要打扮她那些營養不良卻依然美麗非凡的小天使。她的
這種行為，好像是"窮開心"。其實，安娜並不是所謂"知足者常
樂"這種說教的信徒。相反，她似乎有一種很難滿足的心願，以致
對日常的缺吃少穿反而不大在乎。母親的這種秉性，感染了她的孩
子們。儘管受凍捱餓，阿貝爾家看來並不那麼沮喪。你看，在冬日
的晚上，阿貝爾家的小屋外是狂風飛雪統治著的冰天雪地，屋裡卻
洋溢著春天的生意。一家人圍著小爐子，一會兒講故事、猜謎語，
一會幾做遊戲，不時爆發出歡快的笑聲。因為窮，請不起家庭教師，
父親不得不在工作之餘教尼爾斯和他哥哥識字和算術。和許多大數
學家一樣，尼爾斯很小就顯示出數學才能。幸好父親對數學略知一
二，就對他著意培養。兄弟倆體諒父親的辛勞，學習得比別人家的
孩子更加刻苦。尼爾斯不願多想現實中的貧困和種種不快。他沉浸
在學習和思考中。他相信聖經和許多書本上的教導，只要努力行善，
堅持不懈，光明美好的日子就會到來。他憧憬那遙遠的未來，忍受
著現實生活中貧苦的煎熬。
一個優秀的數學天才
19 世紀初，挪威和許多國家一樣，男尊女卑的現象還很嚴重。
婦女沒有受教育的權利；男孩子才有上學的機會。13 歲的時候，尼
爾斯和哥哥一道，被送到克里斯蒂安的一所天主教教會學校唸書。
這無疑是極大的幸運。財主家的小姐還沒有這福分呢。還有一件事
使尼爾斯覺得自己的運氣不錯。因為他入學考試成績優異，學校決
定發給他獎學金。這對在飢餓線上掙扎的阿貝爾家是個不小的福音
啊。可是學校也並不是那麼美好。這時候挪威的學校裡還盛行體罰。
體罰被認為是使學生成才不可缺少的措施。可是實際上，體罰成了
滿足那些專橫的教師的虐待狂嗜好的陳規陋習，而捱打的多是"懶
蟲"和"笨蛋"。尼爾斯同情捱揍的同學，常常用機靈的警告和幽
默的解嘲來幫助和安慰那些不幸者。學年結束，阿貝爾兄弟倆都取
得了優良成績，學校發給他們書本作為獎賞。可是，新學年開始後，
他們感到上課唸書不那麼有趣了。大量重複單調的作業，乾巴巴的
教條滿堂灌，使孩子們大倒胃口。原來一些水平較高的教師應聘到
一所新辦的大學去了，剩下的和新來的教師怕成績下降，便想"以
多取勝"，大搞填鴨式教學，連天資過人的尼爾斯都難以接受。生
來贏弱的哥哥在高壓下被弄得神經衰弱，不得不退學回家，競至以
後再也無法學習和工作。這使尼爾斯十分難過。而那個教數學的教
師，經常挖苦取笑學生，有時候甚至喝得醉醺醺的，大發酒瘋，更
使尼爾斯膽戰心驚。有一次，這位教師竟拳腳交加地毆打一個學習
吃力、身體瘦弱的學生。那孩子被打得站立不住，歪倒在課桌旁。
尼爾斯驚呆了。等那教師走了，同學們才把他攙扶回家。第二天，
他沒有來上學；聽人說，他病了。過了兩天，更傳來令人震驚的噩
耗：那位同學死了!
尼爾斯目睹這人世間殘忍的一幕，吃不下飯，睡不好覺，許多
天都不見他詼諧的談笑。整個教室沉寂下來，連最淘氣的學生都蔫
了。一些家長和社會人士到學校來抗議，還一直向上控告，最後，學
校不得不把那個教師解職。
不久新來了一位年輕的數學教師，挪威數學家洪波依。他一邊
讓學生思考，一邊慢慢地啟發，並不搞體罰的那一套。他的講解清
晰透徹，還不厭其煩地教育大家：精巧的論證常常不是一蹴而就，
而是人們長期切磋積累的成果。他甚至坦率地告訴學生，他也是慢
慢學來的，而且還要繼續不斷地學習。他的博學和謙和，同那粗暴
愚昧的前任相比，真有天壤之別。阿貝爾深深喜愛上這位洪波依老
師，並且大大激發起學習數學的熱情。阿貝爾敏捷的反應和嚴密的
思維，很快被洪波依老師發現。於是老師不時地給出一些較難的問
題。這些難題同樣難不住阿貝爾。他發覺，只要緊緊把握住各種概
念，通過持久的思考，就可以找到解決各種難題的線索。能夠體驗
到從無知到有識的快樂，真是幸福。不過，阿貝爾知道，自己不應
該驕傲，更不能欺侮那些不幸的遲鈍的同學。
學期末了，給學生寫評語的時候，洪波依老師首先想到了阿貝
爾。這個衣著破舊、被同學們起綽號為"阿貝爾裁縫"的孩子，既
聰明又勤奮，心地善良，真是難得啊!洪波依拿起鵝翎筆，飽蘸墨
水，深情地寫道：
"一個優秀的數學天才。"
阿貝爾學習的熱情越來越高。他很快熟練地掌握了初等代數的
概念和方法，精通了歐幾里得幾何的事實和推理，領略到古典數學
難以形容的和諧與優美。洪波依老師以更大的熱忱來培養阿貝爾，
並且把自己在大學學習的課本全部送給他。這樣，在放學以後，當
別的學生在遊玩嬉戲的時候，阿貝爾卻跟著洪波依老師興致勃勃地
在深奧而迷人的數學宮殿裡流連忘返。
初生牛犢不怕虎
洪波依老師算不上是富有創造力的數學家。但是他了解而且喜
愛數學名著。在他的支持下，16 歲的阿貝爾直接向那些歷史上大數
學家學習。他不怕牛頓、達朗貝爾著作的艱深，也敢於去揭高斯
《算術研究》的七道封漆。大師們探討的都是一些根本性問題。他
們的分析觸及問題實質，切中要害。這種閱讀帶來的喜悅是無與倫
比的。更重要的是，在這樣的學習中，阿貝爾樹立了繼往開來的雄
心大志。他摩拳擦掌，要向一個歷史上久攻不克的堡壘——尋求五
次以上代數方程的求根公式——發起進攻了。
每個好學的初中同學，在掌握了一元二次方程
ax2+bx+c=0的求根公式以後，都可能發問：三次、四次以至一般
的高次方程，有沒有這類求根公式?如果有，是什麼樣子?阿貝爾
自然也想到了這個問題。
歷史上，二次方程求根公式，在公元前 1000多年巴比倫人實質
上已經掌握了。但是，三次、四次方程一般情況下就難解得多。直
到 16世紀，才由意大利數學家費羅(1465—1526)，塔爾塔利亞。
卡爾達諾和他的學生費拉里(1522—1565)等人先後解決。代數方程
求根是數學的一個基本問題。後來，數學家在研究根的存在性和近
似解的同時，繼續尋求五次以上方程的求根公式，笛卡兒、牛頓和
萊布尼茲等大數學家都認真追求過這個問題的解答，但是一直沒有
成功。阿貝爾在研讀高斯《算術研究》的時候，受到高斯對二項方
程討論的啟發，想試著用高斯的方法，來求一般五次方程的解。憑
著"初生牛犢不怕虎"的勁頭，阿貝爾不斷地演算下去。通過對方
程係數作加減乘除和開方這些代數運算，他居然得到了根的表達式。
這不就是人們夢寐以求的五次方程的根式解或代數解嗎?他非常興
奮，可是又不大放心。他把自己的推算從頭到尾看了兩遍，沒有發
現問題。他把稿子送給洪波依老師審查。洪波依看不出究竟，又去
請教他的大學老師。連他的大學老師、著名的天文學家漢斯廷教授
在內，挪威大學的教授們都不能評定阿貝爾的研究。考慮到北歐諸
國中數學發展水平數丹麥最高，漢斯廷就把阿貝爾的手稿寄給丹麥
的學有創見的德根教授，並且告訴他，如果確有價值，就請丹麥科
學院予以發表。德根認真地看了阿貝爾的文章，也沒有發現什麼破
綻。不過根據他的經驗，這種久攻不克的大難題，一般不可能沿用
舊的想法、套取現成的結論就輕而易舉地解決的。因此，為慎重起
見，他建議阿貝爾用一些實際的例子來檢驗自己的理論。實踐是檢
驗真理的標準，數學上也是這樣。德根回信向漢斯廷說明，即使最
終判明阿貝爾的結果是錯的，他的研究也表明，他是一個富有數學
才能的人。他建議阿貝爾花功夫去研究一個稱為橢圓積分的難題，
它是在計算橢圓的弧長和分析單擺運動中發現的一類積分問題。這
個課題對整個分析數學和力學都將產生巨大的影響。他說：
"一個努力而有才幹的學者，不會侷限於具有優美性質的函數，
他將發現麥哲倫海峽，從而進入廣闊無際的分析數學的海洋。"
阿貝爾從高斯《算術研究》的學習中，對橢圓積分已經知道一
點。歐拉、拉格朗日、勒讓德等人都在這方面做過工作。他接受了
德根教授懇切的忠告和影響深遠的建議。不久，他通過實際例子檢
查，發現自己對五次方程的根式解果真有錯。不過他沒有氣餒。他
認真地閱讀了拉格朗日長達 200 多頁的論文《關於方程代數解法的
思考》。拉格朗日說："雖然關於求解的不可能性什麼也沒有證明，"
不過可以肯定，"用根式解高於四次的方程是不可能解的問題之
一。"他甚至認為，這個難題是"向人類智慧的挑戰"!偉大的數學
先驅者的這一番話把阿貝爾深深打動了。面對這嚴峻的挑戰，拉格
朗日深感力不從心。因此，他對數學的前途感到悲觀。但是，對阿
貝爾來說，這不是一瓢涼水。不，恰恰相反：這是進軍令，是衝鋒
號，是一把熊熊的大火!阿貝爾渾身熱血沸騰。他決心接過先驅者
手中的火炬，把這場戰鬥進行到底。
深情厚誼
中字畢業了。
洪波依老師給阿貝爾作了熱情的評語：
"一位數學天才，……如果他繼續成長，可能會成為大數學家。"
但是，父親的死給尼爾斯帶來深沉的悲痛和憂傷。原本就窮得
夠嗆的日子，現在只剩下母親那點養老金，往後怎麼過啊。哥哥精
神失常，難以工作；只有自己能幫媽媽挑起養家餬口的重擔。尼爾
斯想上大學深造，也希望他的弟妹能上學讀書。可是瘦弱的尼爾斯
能幹什麼活，掙多少錢呢?
洪波依看到阿貝爾的困境很不安，決心不讓貧困扼殺一個數學
天才的成長。他去找教授們幫忙。通過漢斯廷教授，他們已經知道
阿貝爾是個不可多得的人才。大家紛紛慷慨解囊，從各自的薪金中
抽出一點錢來扶持這個貧窮的學生。當時的教授們和他們的祖國一
樣，也都窮得可憐。不過，錢雖少，他們的情誼使阿貝爾永志難忘。
當時的大學沒有獎學金，但是有免費的宿舍供窮苦的學生居住。阿
貝爾得到特許，讓他的弟弟和他同住在這樣的宿舍裡。
阿貝爾很清楚，他是在老師和朋友們的支持下上大學的。他只
有格外努力學習，來報答師友。在他們用得著的時候，比如替孩子
補習功課之類的事，他總是盡力而為。實際上，教補習生歷來是窮
大學生一種半工半讀的形式。阿貝爾也常常去看望師友，受到他們
熱忱的接待。特別是漢斯廷教授夫人，對謙遜有禮、勤奮好學的阿
貝爾非常關懷。她十分同情這個貧苦的學生。她常常用各種藉口，
把阿貝爾請來，讓他在家裡吃一頓可口的飽餐；看到阿貝爾的衣服
破了或太單薄了，就親手為他縫製衣服。
阿貝爾的學業突飛猛進。上大學剛一年，他就取得初等學位。
當時大學裡沒有高等數學之類的必修課程，這使他可以自由地研究
自己感興趣的課題。在繼續代數方程和橢圓積分研究的同時，他學
著歐拉、拉格朗日把數學用於分析力學。他發現用積分方程可以描
述質點沿曲線運動的問題。他構思了一種巧妙的方法得到那積分方
程的解。他還不滿足。接著他又用另一種方法得出同樣的解答。自
覺地直接應用並且解出積分方程，這是數學史上的創舉。他整理自
已的成果，寫出兩篇文章。正好漢斯廷教授準備創辦一份自然科學
雜誌，於是，阿貝爾的處女作就發表在它 1823 年的創刊號上。阿貝
爾對積分方程的開創性研究很有意義。可惜當時數學家還沒有充分
認識它。積分方程的蓬勃發展，它的一般理論的建立，要到 19 世紀
末和 20 世紀初了。
哥本哈根之行
1822 年 6 月，19 歲的阿貝爾大學畢業了。在整個斯堪的納維
亞，他已經顯得過於巨大。他渴望去法國，那是當時世界數學的皇
後，是拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德這"三 L"的祖國。雖然拉格
朗日已經去世多年，拉普拉斯也因為年邁，沒有在工作，但是，勒
讓德還健在，特別是一顆新升起的明星——柯西，使其他人黯然失
色。除此以外，巴黎還有一大批偉大的同行。只是阿貝爾不知道，
他自己已經遠遠超過他們中間的一些人。他當然也夢想著到德國去
拜望老高斯。他是世界上無可爭辯的"數學王子"。
阿貝爾的數學和天文學界的朋友們支持他的想法；他們聯名呼
籲政府資助阿貝爾出國研究。為了加深當局的印象，阿貝爾特別寫
了長篇論文請大學出版。他相信這篇文章一定會給挪威增光。可是，
挪威大學的財政異常拮据，論文的印刷被一拖再拖，最後竟不知下
落。不過，經過交涉，政府總算同意，發給阿貝爾一份津貼，讓他
在大學裡攻讀法語和德語。
夏天，老天文學家拉斯梅辛拿出一筆錢，供阿貝爾去丹麥考察
研究。這是阿貝爾第一次出門遠行。從克里斯蒂安到哥本哈根，路
程並不算遠，但是路上的一切都使阿貝爾感到新鮮。大海和日出，
教堂和風車，牧羊童和擠奶婦，……他驚奇地發現，現實的世界和
數學世界一樣，也是那麼美妙和令人陶醉!德根教授在家門口熱烈
歡迎阿貝爾的到來。阿貝爾就住在教授的家裡。從早到晚，他當面
聆聽這位老前輩的分析和教誨，得益非淺。
哥本哈根的挪威學生和朋友們熱情接待他們的數學才子。有一
次，他們邀請他參加一個舞會。這使阿貝爾感到為難，因為他對跳
舞一竅不通。但是盛情難卻，他痛痛快快地答應了。
在舞會上，一對對、一雙雙翩翩起舞，舞興正濃。阿貝爾發現，
有一個女孩子和自己一樣，一個人冷清清地坐在角落裡呷著咖啡。
別人可能覺得她並不漂亮。矮矮胖胖的，紅頭髮，臉上長著雀斑。
阿貝爾卻喜歡她純樸天真的神態。看樣子她不會使自己難堪，於是，
阿貝爾鼓起勇氣邀請她一起跳舞。姑娘大方地站了起來。可是，跳
不一會兒，他倆發現，對方和自己一樣，並不精於此道。兩人同時
停了下來，不覺相對會心一笑。這使阿貝爾愈發感到她的誠摯友好。
原來，這位克里斯廷小姐也是窮苦出身，靠做家庭教師和縫紉自立。
阿貝爾不知不覺愛上了克里斯廷。姑娘的感情也十分真摯而且熱烈。
阿貝爾的哥本哈根之行，就在那充滿陽光、飽含幸福和歡愉中度過。
回到挪威，阿貝爾把克里斯廷介紹到克里斯蒂安附近的一個小
鎮芙樂蘭工作。他倆訂婚了。
成功和失望
拉格朗日的話時時在阿貝爾的耳邊迴響。說得多好啊，"向人
類智慧的挑戰"!阿貝爾可不是知難而退的懦夫。恰恰相反，愈是
困難的挑戰，愈能激起他的熱情。這正是每一位具有獨創精神的大
科學家所具備的品質。他徹底檢查瞭解決這個難題所應該遵循的道
路。他發現，一個方程，由於計算過於複雜，人們花了大量精力沒
有把它解出來，但是，這不等於這個方程不可能有代數解；反過來，
雖然找到了某個方程的代數解，我們並不能由此推斷一般方程存在
代數解。因此，他認為：
"不要去尋求一個不知道是否存在的關係，而必須先問一問這
樣的關係是不是可能的。"
這樣，阿貝爾就為解決這個大難題找到一條明確的、萬無一失
的途徑：
"1．找出代數上可解的任意次數的一切方程。"
"2．決定一個已給的方程在代數上是不是可解。"
阿貝爾說，這兩個問題實質上是相同的。雖然方程的代數解存
在的充分必要條件要留待伽羅瓦來最終解決，但是，阿貝爾邁出了
意義重大的一步。他以無可比擬的天才證明了使數學家們為難了幾
百年的大難題：一般高於四次方程不可能有代數解。
為了得到這個證明，阿貝爾絞盡了腦汁。由於他不瞭解拉格朗
日一個熱忱的弟子、意大利數學家魯菲尼的工作，阿貝爾的"不可
能性"證明幾乎是從頭做起。經過數不清的迂迴反覆，他發現了被
後人稱為阿貝爾定理的重要成果。魯菲尼在 1799年已經知道這個結
論，但是沒有嚴格地證明。正是利用這個結論，阿貝爾作出了人們
孜孜以求的"不可能性"的嚴格證明，以光輝的"阿貝爾-魯菲尼定
理"為名載入史冊。從此以後，無論是傑出的數學家還是普通的愛
好者，都不必再徒勞地去尋求那根本不存在的五次方程求根公式了。
這時阿貝爾才 22 歲。
為了擴大影響，阿貝爾用法文寫出研究報告，並且決定自籌經
費付印。可是，他實在太窮了。為了降低印刷費用，他不得不把論
文的篇幅一壓再壓。最後印出來，只剩薄薄 6頁了。但是，這薄薄
的幾片紙是阿貝爾對數學先驅者們的卓越工作的繼承和發展，凝結
著他多年的心血，閃爍著他天才的光輝。1824 年 7 月，他懷著滿腔
希望把論文寄給國內外有名的數學家，包括當代數學界的領袖高斯。
他期望得到他們的承認和支持。一個月、兩個月過去了。寄出的論
文像石沉大海，毫無反應；有影響的刊物也毫不理會阿貝爾歷史性
的突破。阿貝爾深深地失望了。
許多人常常責備高斯，說他過於傲慢，看不起別人特別是年輕
人的成果。對於這件事，我們可以設想一下，如果今天有一個年輕
人，寫信給一位權威的數學家，聲稱自己解決了歷史上著名的方圓
問題——用圓規和直尺作出了和圓面積相等的正方形，結果會怎樣
呢?這位數學家可能會客氣地給他回一封信，也可能什麼也不寫。
但是有一點可以肯定，他會把寄來的論文看也不看就扔進廢紙簍裡。
因為方圓問題的不可能性早在 1882 年已經由林德曼給予證明。高
斯可能也是這樣。他看到一個默默無聞的挪威青年居然想用 6 頁紙
來對代數上著名的大難題下判決，豈不是太狂妄了嗎?他沒有屈尊
把它看上一眼，就厭惡地拋到一邊：
"太可怕了，又一個怪胎!"
有人說高斯保守，這有幾分道理。和方圓問題不同，五次以上
方程的代數解的不可能性在阿貝爾以前是還沒有證明的。正是這個
靦腆的挪威青年提供了一個天才的證明。是的，這個證明還說不上
完美元缺。它有許多不必要的複雜論證，不夠簡明扼要，而且篇幅
被大大壓縮，以致讀起來非常吃力。但是，要是高斯能耐著性子把
它看上一遍，結果將會怎樣呢?他只要說一句話，阿貝爾就成名了。
阿貝爾就可以不揹著沉重的貧困的包袱而在生命的中途不幸倒下。
我們的故事也就大不相同了!
具有諷刺意味的是，高斯本人在青年時代曾經遭到過同樣的冷
遇。那是 1796 年 4月的一天。高斯興沖沖地帶著他正多邊形作圖問
題的證明去找他的大學老師凱斯特納教授。凱斯特納不相信，想把
高斯打發走。他不願花時間去檢查高斯的證明，企圖從裡面找出假
定上的錯誤。這一招沒有成功，他就告訴高斯：這個作圖法並不重
要，因為誰都知道實際的作圖是什麼。當然，他心中清楚，這種實
際的近似作法和高斯的理論證明毫不相干。高斯向他說明自己曾經
解出了一個 17 次代數方程。凱斯特納說這是不可能的。高斯解釋
說，他把這個問題化簡成為解一個低次的方程。凱斯特納嘲笑說：
"噢，我早就這樣做了。"
對於"小人物"抱這樣冷漠的態度，高斯十分不滿。因為凱斯
特納曾經炫耀過自己的詩作，高斯後來就用"凱斯特納是數學家中
最好的詩人，是詩人中最好的數學家"來回敬凱斯特納。
事情就是這樣奇怪。過了不到 30年，現在輪到阿貝爾來埋怨高
斯了。我們的數學王子如果知道了會有什麼感想呢?
喜遇"伯樂"
在阿貝爾的朋友們積極活動下，1825 年 8月 27 日，王室政府
發佈一條法令，宣佈發給阿貝爾一份津貼，供他去德國和法國旅行
和研究一年。政府拿不出更多的了。在全國處於忍飢挨餓的困難時
刻，阿貝爾還能要求什麼呢?
1825 年 9 月，雖然懶洋洋的陽光給人以幾分溫暖，蕭瑟的秋風
卻已經咄咄逼人了。阿貝爾告別親人和師友，踏上漫漫的旅途。他
依戀克里斯廷，也惦念著貧困中的媽媽和弟妹們。是的，他嚮往法
國和德國，渴望著和外國同行們切磋交流，贏得他們的支持。不過，
他心裡確實惴惴不安。那些高傲的大學者會怎樣對待自己呢?
阿貝爾先到哥本哈根，拜訪了丹麥著名的數學家和天文學家。
遺憾的是，親愛的德根教授不久前去世了。他又轉往德國。在漢堡，
他改變主意，不是急著去格丁根拜望高斯，而是向東來到柏林。高
傲的高斯使他失望。他不願低聲下氣地去求見他。他甚至埋怨德國
人，瞧不起像他這樣的"小人物"。沒有想到，他在柏林遇到了一
位出色的人物，使他大大改變對德國人的偏見。這個人的名字就是
奧古斯特·利奧波德·克列爾。
如果說克列爾使阿貝爾贏得聲譽，那麼阿貝爾給了他加倍的回
報。克列爾成為今天西方數學界"伯樂"的代名詞；而"克列爾"
代表著他所創辦的偉大季刊的專有名詞。這個季刊的頭三卷刊載了
阿貝爾 22 篇論文。《克列爾雜誌》使阿貝爾在歐洲大陸聞名遐邇；
阿貝爾的偉大工作一下子使雜誌出了名，而這份刊物最終使克列爾
名垂千秋。
克列爾本人與其說是位創造性的數學家，不如說是一位自學的
數學愛好者。他的專業是土木工程。他建造了德國第一條鐵路，使
他名利雙收。他在閒暇的時候從事數學研究多少有點像業餘嗜好。
他在 1826 年創辦的《純粹數學與應用數學雜誌》(也就是(克列爾
雜誌))給予德國數學以巨大的刺激。這是克列爾對數學發展的最
偉大的貢獻。
《克列爾雜誌》對過去著作的解釋是不受歡迎的。著作(克列
爾本人的某些著作除外)只要是新的、真實的和充分"重要"的，
不論作者是誰，都可以發表。從 1826年到今天，每季度一期，從不
間斷。兩次世界大戰的烽火幾乎把《克列爾雜誌》毀掉。但是，在
全世界訂戶的大力資助下，它頑強地堅持了下來。
1825 年冬天，克列爾正在醞釀這項偉大的事業。這時候，他還
兼任著一份公職——商業學校的考試官。不過，他在這方面既缺乏
能力，也缺乏興趣。阿貝爾的突然出現促成克列爾決心的實現。關
於這次歷史性的會晤，克列爾有一段生動的回憶：
"一個晴朗的日子，一位羞怯的、年紀挺輕的青年走進我的辦
公室。他的臉看上去非常年輕，非常聰明。我以為他大概是商業學
校的考生，所以我向他說明必須考幾門不同的課程。說了半天，小
夥子開了口。他的德語並不高明，'不是考試，是數學。'"
一聽是數學，克列爾的興趣立刻提了起來。數學是他心愛的課
題。他發現阿貝爾不是德國人，就試著用法語同他交談。阿貝爾對
法語勉強聽得懂。
"那麼，親愛的先生，您能不能談談自己在數學方面做過些什
麼工作呢?"克列爾好奇地問。
"哦……我讀過一些書，"阿貝爾斟酌著字眼，彬彬有禮地答
道："我也讀過先生您 1823 年的大作和最近發表在《分析技巧》上
的新作。這些著作都很有意思，不過……"接下來，他就不那麼
"有禮"了："那裡面有幾處錯誤。"說到這裡，阿貝爾偷偷地瞧了
克列爾一眼。
這正是克列爾的難能可貴之處。他不因為年輕人冒犯自己而感
到惱怒。相反，他認真地想聽聽阿貝爾的詳細意見。阿貝爾用蹩腳
的法語連比帶劃地解釋了半個多小時。雖然根據克列爾的數學水平，
他只聽得懂阿貝爾講話的十分之一，但是，有一點他是清楚了。可
靠的直覺告訴他：阿貝爾是第一流的數學家。在會晤結束以前，他
已經打定主意，阿貝爾必須是擬議中的《克列爾雜誌》的第一批撰
稿人之一。
其實，談了半天，阿貝爾還有很大的保留。他怕自己過於坦率
地說出意見會引起克列爾的不快。因為他是來尋求支持而不是來討
論分歧的。當然，克列爾也不是真的想知道自己究竟錯在哪裡。他
是想摸清阿貝爾的底細。於是，他問阿貝爾還看過哪些著作。當阿
貝爾提到牛頓、歐拉、拉格朗日和高斯這些大師們的名字的時候，
克列爾的耳朵豎了起來。他們討論起若干著名的尚未解決的難題。
這時候，阿貝爾鼓起勇氣向克列爾提出自己關於一般五次方程代數
解的不可能性的證明。克列爾不打算聽下去，他認為這一類證明一
定有什麼問題。不過他收下了證明的抄件，還翻來覆去地看了兩遍。
他承認推理超出了自己理解的水平，但是，這並不妨礙他在 1828 年
的《克列爾雜誌》上發表阿貝爾的詳盡證明。這就是克列爾。他的
數學水平不算高，但是他心胸開闊，看人入木三分，而且惜才如命。
他是一位偉大的人。
克列爾決定充當阿貝爾的保護人，盡其所能要使他得到社會的
承認。他帶著阿貝爾參加各種活動，並且認為這是自己最好的"數
學發現"。自學成才的瑞士人斯泰納， 被人譽為自阿波羅尼奧斯以
來最大幾何學家，有時候也陪著他們。克列爾的朋友們看見他一手
拉著一位天才就會喊起來：
"瞧，亞當爸爸帶著他的該隱和亞伯來了!"
克列爾的熱情接待使阿貝爾深受感動。他寫信給漢斯廷教授：
"的確，在這裡對我感興趣的人很少，但是，這很少幾個人和
我卻是無限親近的。因為他們向我表示了這麼多友好的情誼。或許
我能以某種方式來報答他們對我的期望，否則的話，對他們會是很
難受的。"
接著他告訴漢斯廷，克列爾怎樣懇請他永久留在柏林，並且運
用自己的影響使阿貝爾成為柏林大學教授。這是 1826 年的德國。當
時的德國需要最好的數學家，至於阿貝爾是一個外國人是無關緊要
的。
但是，應接不暇的社交活動使阿貝爾很難安下心來研究。他悄
悄來到德法邊境的弗賴堡。那裡環境幽靜，風景如畫。他要加緊工
作來彌補失去的時光。他的才思隨著他一刻不停的筆尖滾滾而出。
果然不負眾望，他最偉大的作品雕鑿成形了。這就是後人稱為阿貝
爾大定理的發現。不過，他得先到巴黎去拜訪當時法國最大數學家
——勒讓德、柯西和其他同行。高斯不理睬他；他希望法國的同行
能夠了解他。
喧鬧的"沙漠"
阿貝爾滿懷希望，離開弗賴堡，取道瑞士和意大利，於 1826 年
7 月來到巴黎。巴黎絢麗的色彩使阿貝爾眼花繚亂。不過他無心觀
賞。號稱世界花都的巴黎，是屬於有錢人的。他住在一家貧苦的人
家。他們供給他一天兩餐很差的食物，一間極簡陋的居室，收取的
房租卻高得驚人。4個月以後，他寫信給洪波依談到他的印象：
"跟你老實說吧，這個大陸上最喧鬧的城市，暫時對我來說就
像是沙漠。我實際上什麼人也不認識；這是個可愛的季節，每個人
都在鄉下。……法國人對陌生人比德國人冷淡得多。要得到他們的
親善特別困難。到目前為止，我不敢暢談我的看法；在這裡，一個
小人物要引起注意有大量的困難。我剛剛完成一篇關於某一類超越
函數的長篇論文，下星期我要把它提交給法國科學院。我給柯西先
生看過，可是他對論文幾乎不屑一顧。而我敢說，不是自誇，這是
一篇佳作。我好奇地想聽聽科學院對它的意見。我將讓你和我分享。"
實際上，他對於這篇論文的結局似乎已經有不祥的預感。因此，
他向洪波依抱怨：
"我後悔把旅行安排為兩年。一年半就足夠了。……有這麼多
的事情留待我來做，而我只要留在國外，一切就都糟了。"
阿貝爾在信中提到的佳作——《關於很廣一類超越函數的一個
一般性質》——被認為是他一生中最偉大的作品。在文章一開頭，他
表明自己的意圖：
"到目前為止，數學家們所考慮的超越函數的數目是很少的。
特別是超越函數的全部理論被壓縮為對數函數、圓函數和指數函
數，實質上，這些函數只構成單一的類型。直到晚近，才開始考慮
一些其他的函數。其中橢圓超越函數佔據首要的地位。橢圓函數的
某些顯著的和優美的性質是由勒讓德先生髮掘的。在有幸呈交給科
學院的本文中，作者考慮了很廣一類超越函數，也就是說，這些函
數的導數可以由代數方程來表示，方程的係數是單變量的有理函數；
作者同時證明了這些函數有類似於對數函數和橢圓函數的性質。"
阿貝爾的引言很容易引起誤會，以為勒讓德曾經像阿貝爾所恭
維的那樣討論過橢圓函數。這是不確切的。阿貝爾這樣提到這位老
數學家完全是出於友好和禮貌。事實上，勒讓德長期研究這個重要
問題，可是沒有找到關鍵。他所研究的是橢圓積分而不是橢圓函數。
橢圓函數和橢圓積分的不相同就像馬和馬所拉的車的不同。俗話說
"把車放在拉它的馬的前面"，或者說本末倒置，正好用來形容勒讓
德的工作。阿貝爾把它們顛倒過來。它引進了橢圓積分的反函數
——橢圓函數，正好抓住了探索橢圓積分問題的關鍵。"把考慮問
題的順序顛倒過來"，這看來十分簡單，卻是數學和科學發現的最
強有力的方法之一。繼承和授予，輸入和輸出，直接函數和反函數，
橢圓積分和橢圓函數，一個方向考慮不下去，不妨反過來試試。這
種方法導致 19 世紀最重大突破之一，也是阿貝爾對數學最為巨大的
貢獻。因此，埃爾米特認為，阿貝爾的思想足夠未來的數學家忙碌
150 年，而一生從事教師工作的維爾斯特拉斯總是督促學生好好閱
讀阿貝爾的著作。
可是，阿貝爾這篇希世之作的遭遇卻是令人痛心的。
科學院讓勒讓德和柯西負責審閱。勒讓德 74歲了，年邁力衰，
已經喪失敏銳的理解力。他沒有看懂，就把它交給柯西。後來，勒
讓德在給雅可比的信中為自己辯解：
"我們發覺論文的字跡很難辨認，它的墨水幾乎是白的；字寫
得歪歪扭扭；我們一致商定，作者應該把論文謄寫清楚。"
這是什麼藉口!年方 39 歲的柯西正忙於自己範圍廣泛的研究，
哪有心思去多管"閒事"!他把論文帶回家，隨手一丟，完全把它
忘了!後來，只是由於奇蹟，這篇被遺忘的傑作才得重見天日。事
情是這樣的，阿貝爾研究上的知音、比他小兩歲的雅可比，當時是
柯尼斯堡大學的數學教授。他從勒讓德那裡得知，阿貝爾在臨終前
三星期在給勒讓德的信中曾經提到被法國科學院拋到一邊的那篇著
作。他為阿貝爾深感不平，就不辭辛勞趕到巴黎。他花了九牛二虎
之力，終於在柯西積滿灰塵的舊書堆中找到那篇被遺忘的手稿。不
用說，那上面根本沒有作過任何評審。雅可比雙手棒著論文，激動
得聲音都顫抖了：
"這是阿貝爾的一個什麼樣的發現啊!……有誰見過這樣的發
現?這個發現，可能是我們這個世紀最為重大的數學發現，兩年前
提交給你們科學院，卻被你們的同事們扔到了一邊!"
消息傳到挪威，整個國家沸騰了!挪威駐巴黎的領事向法國提
出正式抗議。法國科學院不得不表示歉意。可是，它對自己的行為
遺憾到什麼程度呢?論文一直拖到 11 年以後才刊印在法國科學院論
文彙編第 7 捲上，而在清樣校閱以前，珍貴的原稿竟不翼而飛了!
遲到的正義
一切是那麼遙遠，那麼冷落，那麼令人失望，就像巴黎陰冷的，
看不見盡頭的雨夾雪。阿貝爾感到冷，透心砭骨的冷。無論穿多少
衣服，他都感到冷。他病了。醫生告訴他，這是肺結核，這在當時
幾乎是絕症。年紀輕輕的，剛開始生活，就染上了絕症。阿貝爾無
法接受這個殘酷的事實。他離開冰冷的巴黎，回到柏林。想到自己
隻身漂泊在外，身患絕症，前途茫茫，心中不覺無限憂傷。只有想
到研究工作，他才充滿信心和活力。數學上新的想法不斷湧現。他
要抓緊時間把它們整理出來。他婉拒了克列爾的盛情挽留，決定動
身回國。
出國的時候，阿貝爾滿懷希望。現在，他精疲力竭，身無分文。
盤川還是從洪波依老師那裡借的。他所向往的未來是那樣的遙遠，
就連從克里斯蒂安到芬諾的家裡，也是一眼望不到盡頭。他細汗涔
涔，呼吸急促，不得不靠在教堂的大門上休息。……
為了養家餬口，阿貝爾重操舊業，給各種各樣的學生補課。從
小學生到準備考大學的中學畢業生，從外語到數學，可以說無所不
教。酬金少得可憐，教少了還不行。他的肺病癒來愈重了。克列爾
得知阿貝爾回國以後的困境，想在柏林一所新建的工學院裡為他謀
一個職務，可是，這不是一下子就能實現的。還好，不久漢斯廷動
身去西伯利亞考察，軍事學院批准阿貝爾代課，講授力學和理論天
文學。雖然是漢斯廷教授保薦的，他也只能得到漢斯廷薪水的三分
之二。在這裡，同工同酬是不存在的。不過，這對於阿貝爾已經是
不錯了。他可以擺脫教補習生的沉重負擔，來完成他橢圓函數論的
研究。論文一篇篇發表，研究不斷取得進展。通過雅可比的介紹，
阿貝爾和雅可比的工作終於驚動了老勒讓德。他看到阿貝爾引進橢
圓積分的反演，抓住了探索橢圓積分的關鍵，不禁自嘆不如：
"這個年輕的挪威人的智力是多麼高啊!"
他稱讚阿貝爾的工作是"不朽的豐碑"。老人得知阿貝爾的困
境以後深感不安，想必也知道過去對他怠慢了。他親自寫信給瑞典
國王，籲請他為附屬國的這位天才安排一個職務。
受到勒讓德的讚美和關懷，阿貝爾當然很高興。他在給勒讓德
的信中，表達自己的感激之情：
"當我看到我的工作能值得本世紀一位大數學家的關注時，這
成為我一生中最快樂的時刻之一。" ．
但是，這時候的阿貝爾遠不是沉浸在歡樂之中。前景並不是一
片光明。貧窮一直像影子一樣沒有離開過阿貝爾。他撰寫的專著沒
有錢出版。沒有一個出版商願意冒險出版這種銷路不大的數學專著。
而這還不是他最大的痛苦。他最悲傷的是，他知道自己的生命很有
限了。
阿貝爾回國以後，沉重的工作和不良的營養，使他的病情迅速
惡化。1828年整個夏天。他一直在發燒、咳嗽。入秋以後，健康毫
無起色，咳嗽反而更厲害了。但是，媽媽從小教育他愉快樂觀，即
使窮得不行，在別人面前也決不能愁眉苦臉。因此，他要盡力保持
自己在人們心目中的樂觀形象。不過，剩下他孤獨一人的時候，衰
弱的身體使他很難集中精神思考。他心煩意亂，非常痛苦。他毫不
懷疑，只要身體好，自己一定能夠在數學的許多領域繼續深入下去，
得到有意義的成果。可是，現在不可能了。他只能勉強支撐著，承
受那愈來愈難以忍受的生活重擔。
熱心的克列爾一直關懷著阿貝爾。他籌了一筆款子作為"稿
費"，寄給阿貝爾。他一心希望這位有才能的年輕人不斷前進。他
把雅可比的研究進展告訴阿貝爾；他要阿貝爾把他的橢圓函數專著
寄來，不論多長，他都全部刊登。阿貝爾看著來信，不禁熱淚盈眶。
但是，他不得不告訴克列爾：
"我已病倒一個時期了。我不得不躺在床上。我很想工作，可
是醫生警告我，即使我現在好轉復原，任何勞心費神的事都將對我
有極大的傷害。"
看到這樣的回信，精明強幹的克列爾不禁黯然神傷，久久不能
平靜。儘管是聖誕佳節，他待不住了。他要為改善阿貝爾的處境大
聲疾呼。他去求見知識界"大祭司"式的人物，亞歷山大·馮·洪
堡。這位以研究"宇宙"為己任、遠涉重洋到美洲探險、以博學聞
名全歐洲的自然科學家，表示支持克列爾的努力。可惜，洪堡獎學
金當時還沒有設立，不能使阿貝爾受惠，在 20 世紀，洪堡獎學金倒
是幫助了一些留學生。
正當克列爾為阿貝爾四處奔走呼籲的時候，該死的結核桿菌正
在大口大口地吞噬著這位天才的年輕的生命。聖誕節熱鬧過去，阿
貝爾覺得自己更不行了。在精神稍微好些的時候，他趕緊把自己在
方程論方面的進一步結果整理出來。雖然一般五次以上代數方程不
可能用根式解，但是一些特殊的高次方程還是可以用根式解的。阿
貝爾找到了一大類可以用根式解的高次方程。他把這類後人稱為阿
貝爾方程的結果告訴克列爾和勒讓德。克列爾看到重病中的阿貝爾
繼續在研究中取得進展，更為自己的無能為力而痛心。他幾經周折，
終於徵集到高斯和勒讓德稱讚阿貝爾的信件。於是，他直接向教育
部長寫信：
"尊敬的先生，我希望你儘快地批准阿貝爾的職務。現在這個
偉大的天才已經出名了。他很可能被聘請到別的地方工作。我剛得
到消息說，丹麥哥本哈根大學準備聘請他，那麼他就不會來這裡服
務了。"
其實，克列爾的努力已經沒有用了。從 3月起，阿貝爾不斷吐
血，身體極度虛弱，一直躺在床上。他甚至連提筆寫字都已經不可
能了。不久，心力衰竭使他發生昏迷現象。昏迷中，他又想到窮苦
的童年。他並沒有怨天尤人。他在喃喃自語中唸叨著漢斯廷夫人對
他的關懷和愛護。他在內心深處感激幫助過他的師友。他想著友愛
和溫暖，美好和光明。生活中使他留戀的事物太多了 1
4 月 5 日晚上，北歐早春的夜晚寒氣逼人。阿貝爾感到呼吸很
困難。一種說不出的壓抑使他透不過氣來。他痛苦地掙扎著。親人
們輪流守護了他一夜。黎明，他平靜了一點，慢慢地昏昏睡去。第
二天上午，似乎好一些。下午，克里斯廷單獨守護在他身邊。他的
神志又不清醒了。阿貝爾顯然在掙扎：
"我還有許多工作……"
克里斯廷趕緊俯下身去，把手遞給他。
"克列爾幫我找工作，怎麼還沒有消息?……我還要照顧媽媽、
弟弟、妹妹，……可憐的克里斯廷，親愛的，我們的家多麼遙遠啊!
……我美麗的姑娘，你像是迎春的雛菊，多麼高貴和純潔。我死了
怎麼辦呢?"
也許覺察到未婚妻無聲的抽泣，他又掙扎著說下去：
"不!我會好的。春天來了，我們的日子會好起來，……"
突然，握著姑娘的手鬆開了。他那睜大的眼睛還噙著淚水，牢
牢地盯著前方。但是，那遙遠的、他日夜渴望和追求著的美好的未
來啊，他永遠看不到了。克里斯廷伏倒他身上失聲痛哭。她心愛的
人已經離開人世了。
3 天以後，克里斯廷接到克列爾給阿貝爾的信：
"我已經從教育部負責人那裡知道，你的職務確定了。我想盡
快地讓你知道這個好消息。你現在完全不必憂慮了。你屬於我們，
安全就有保障。我非常高興，猶如我自己得到這個職務一樣。你可
以準備起程了。"
好心的克列爾啊，是的，阿貝爾是起程了。他孤獨一人起程到
我們再也見不到的地方去了。姑娘讀著讀著，又失聲痛哭起來。
阿貝爾在貧病中夭折，使親友們至感悲痛，也驚動了國際數學
界。巴黎科學院趕緊彌補自己的過失。他們評議了橢圓函數論的研
究。第二年把當時數學界最高榮譽——法國科學院大獎，授予阿貝
爾和雅可比，並且把後者選為他們的院士。
1500 法郎獎金送到安娜媽媽的手中，又引起一陣痛苦的思念。
正義來得太遲了。尼爾斯·阿貝爾在他短促的一生中，一直被貧窮
和疾病所困擾，卻在代數方程論、橢圓函數論和無窮級數等領域作
出第一流的貢獻。可是他去世的時候，連個大學的正式教職都沒有。
社會的正義在哪兒呢?
