久期是債券研究的重中之重，本期就來看看折價債券的久期圖形是如何推導而來的吧。
01 定義
折價債券
折價債券是指交易價格小於票面價值的債券。
久期
債券的久期描述的是債券價格變化對收益率(即利率)變化的敏感程度，麥考利久期是使用加權平均數的形式計算的債券的平均到期時間。
本次我們通過幾種債券的對比來討論折價債券的麥考利久期隨到期日變化的問題。
02 計算
①
②
③
t為從上一付息日到交割日的天數，T為一個計息期的總天數，N為債券從上一計息日開始到到期日的總期數， PMT為每一期支付的利息，r為市場的折現率，或是到期收益率，FV即債券的未來價值，也就是票面價值，c為息票率。
因此，公式①中的分母即債券當期的full price（用PVFull表示），公式②裡的中括號內代表各期現金流貼現到當期的現值佔債券總價格的比值，即權重。 (1-t/T), (2-t/T)… (N-t/T)代表收到每期現金流需要的時間。 公式③用微積分和代數求得的久期公式,具體推導過程詳見文末。
為了方便分析債券到期日對久期的影響，假定t/T=0，即只考慮每一個付息日的久期。則
④
03 零息、永續、溢價債券的久期一
注意：以下討論的各類債券麥考利久期隨到期時間的變化基於以下假設：1）t/T=0的前提下，不考慮應計利息的影響；2）債券是不含權的普通債券；3）債券持有到期。
零息債券
對於零息債券，則c=0,所以MacDur=N,所以麥考利久期等於債券的到期時間。如下圖所示，是一條斜率為1的直線。如圖1。
永續債券
對於一個不含權的永續債券，在不考慮提前贖回的前提下，則N趨於無窮大，所以MacDur=(1+r)/r。如下圖1。
溢價債券
對於溢價債券，它的息票率c大於市場利率r，也即c＞r。因此根據公式④
因為
為正數，因此MacDur＜
，且溢價債券的麥考利久期小於零息債券，由此可知對於溢價債券，它的久期與到期日之間的關係曲線是一條位於永續債券和零息債券下方的曲線，如下圖2。
04 折價債券的久期一
現在我們來看一下折價債券的久期。對於一個折價債券，它的息票率c小於市場利率r，也即c＜r。
折價債券的利息趨於無窮小
從定性角度考慮，我們先來考慮一種極端的情況，當這個折價債券的利息十分小，幾乎接近於0，那麼這個折價債券趨向於一個零息債券，也就是說，此時折價債券的是趨向於零息債券的一條曲線；但是另一方面，折價債券相對於零息債券從開始持有至到期仍需定期支付，因此在同樣的一個到期日下，折價債券的麥考利久期小於零息債券。所以折價債券的曲線是在零息債券呈現的直線的下方。
折價債券的到期日趨於無窮大
考慮另一種極端情況，當折價債券的到期日（N）趨近於無窮大的時候，此時折價債券趨向於一個永續債券，也就是說，當N大到一定程度，折價債券是趨向於永續債券的一條近似直線；
利用公式④:
我們先來看一下
的大小。由於N不小於0，所以分母永遠是正數；由於折價債券c＜r,因此分子上的中括號部分［N×(c－r)］為負數，因此當N達到某一程度時，分子1＋r＋［N×(c－r)］為負數，所以
為負數。由此可知當N達到某一程度時，
即折價債券的久期將位於永續債券的上方。
根據上述分析，可以知道折價債券久期與到期日之間的關係曲線是一條先上升後下降但最終仍位於永續債券直線的上方的一條曲線，具體形式如下圖3。
折價債券與永續債券的交點
當
時，
此時折價債券與永續債券的久期相等。
即
。
(1)普通零息債券的麥考利久期等於債券持有到期日；
(2)永續債券的麥考利久期=(1+r)/r，是一條水平的直線；
(3)溢價債券的麥考利久期與到期日的關係：隨著持有至到期日的增加，麥考利久期上升，最終趨向於永續債券的久期，位於其水平線的下方；
(4) 折價債券的的麥考利久期與到期日的關係：隨著持有至到期日的增加，麥考利久期先上升後下降，最後趨向於永續債券的久期，位於其水平線的上方。
05 附頁
關於公式③的推導如下：（為簡化計算，在此假設：P=PVFull,FV=1,則PMT=c）
因此：
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