撰文 | 夏志宏
● ● ●
公元1610年，天文學家伽利略發現了太陽黑子，這在歐洲引起了極度恐慌。從亞里士多德以來，人們一直認為太陽是完美無缺的。太陽黑子的存在破壞了這些根深蒂固的文化理念。太陽有缺陷這個事實也與當時的宗教教義所相悖。
同樣，人們一直認為數字是完美無缺的，無理數的發現使一群數學迷們異常驚恐。為了防止世人窺視到上帝的缺陷，發現者被綁上石頭，沉入海底。
公元前第五世紀，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派倒黴的希勃索斯（Hippasus）發現了一個驚人事實，一個邊長為一的正方形的對角線長度不是有理數。無理數的存在說明了數軸上存在不能用有理數表示的“空隙”，和畢達哥拉斯學派的“萬物皆為數（有理數）”的哲理大相徑庭。學派領袖惶恐、憤怒以後，可憐的希勃索斯被百般折磨，判了極刑。從此畢達哥拉斯學派把守住這一秘密當成學派的頭等大事。
在人類科學史上，以“主義”、“思想”等教條來“指導”、“武裝”科學研究時，其結果往往是悲劇。
根據勾股定理（在西方叫畢達哥拉斯定理），邊長為一的正方形的對角線長度為
，也就是說，希勃索斯是第一個發現
是無理數的人。
根據古希臘哲學家柏拉圖《對話錄》記載，數學家Theodorus of Cyrene發現了從2到17整數中，除了4，9，16這幾個完全平方數而外，所有的平方根都是無理數。柏拉圖沒有解釋Theodorus為何停在17。事實上，可以證明任何正整數的平方根如果不是恰好是整數的話，那一定是無理數。
無理數的發現經常被稱為數學史上的第一次危機，其影響是深遠的。有理與無理的對立不僅有抽象的哲學意義，也有廣泛的應用意義。
兩個實數的比例如果是有理數，我們稱這兩個實數有理相關。在力學上，震動頻率的有理相關會引起共振，而共振會帶來系統的不穩定。舉個小例子，如果人在木橋上走動的頻率與木橋晃動的固有頻率有理相關，就會引起危險的共振現象。
再舉個例子，太陽系在火星和木星之間有眾多的小行星，形成一個小行星帶。已發現並確認的就有幾十萬顆。這些小行星在太空中的分佈和它們的軌道穩定性有密切關係。如果小行星繞太陽的運動週期和木星的週期比例是有理數，這就形成共振，它們之間的相互影響就會很大，這些影響往往會導致小行星軌道的不穩定。因此，在這些軌道上小行星的數目就會很少。小行星分佈的著名Kirkwood空隙就是在這些共振區域。比較大的空隙是3:1、5:2、7:3和2:1等共振區域。
在音樂上，頻率共振會帶來和諧和美感，但無理數的出現卻帶來了一些尷尬及無奈。基音——比如C音，頻率為261Hz——確定以後，高八度就是C的頻率的兩倍522Hz。從C到高音C之間，如何確定其它音階的頻率是一個非常有趣的問題。
兩個共振頻率放在一起會令人聽起來爽心悅耳，3/2是僅次於2/1共振的最為簡單和純粹的共振。按照畢達哥拉斯創建的“五度相生律”，如果基音是C，純五度則定為C頻的3/2倍；純四度定為C頻降3/2後再乘以2，也就是C的4/3；純二度定為3/2平方除以2；純六度為3/2的立方除以2。八度的其它音級的頻率都是以類似的五度相生而產生。
由“五度相生律”所產生的八度可分為十二個音程，音程之間距離並不相等。現代音樂為了便於基音的改變和轉調，不得不把八度平均分成十二個半音音程，使得各相鄰兩音之間的頻率之比完全相等，如此得到的即是所謂的“十二平均律”。十二平均律基音改變以後音階的比例也會完全一致。十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，現在的鋼琴即是根據十二平均律來定音的。
但非常遺憾的是，十二平均律半音的頻率比為2的1/12次方，是一個無理數。而且每兩個音的頻率比，除了高八度外，都是無理數。比如，純五度音程的兩個音的頻率比為2 的7/12 次方，是個無理數，大約等於1.4983，和自然泛音序列的1.5有些差別。同樣，其它和絃音符都跟“五度相生律”序列中的幾個音符不一樣。所幸的是，純五度、純四度、大三度等在十二平均律中和3/2，4/3，5/4非常接近，常人聽不出什麼區別。正因為如此，小號等靠自然泛音序列定音的按鍵吹奏樂器得以在交響樂隊演奏，而沒有明顯的違和感。
最後，關於無理數的性質有很多有趣的數學問題。比如，黃金分割是所有無理數中最“無理”的無理數。有意思的是，無理數不僅存在，而且事實上比有理數多得多。
——2018.7. 深圳
我們用反證法。假定
是有理數，也就是說
這裡p和q都是正整數，我們可以假定p和q互為素數，也就是說p和q沒有公因子。等式兩邊平方以後，得到
也就是說
因此p必須是偶數，也就是說p=2k，k為一正整數。我們因此得到
或者
因此，q也必須是偶數。P和q都是偶數，與p和q互素的假定矛盾。
證畢。
本頁刊發內容未經書面許可禁止轉載及使用
商務合作請聯繫
知識分子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual
閱讀更多 知識分子 的文章
