1638年，意大利数学家伽利略（Galileo，1564-1642）提出了一个对数学影响深远的物理问题——
“最速降线问题”：一个质点在只受重力作用下，从A点运动到（不在其竖直下方的）B点，问沿着什么曲线滑下所需时间最短.
为了找出上面的“最速降线问题”所描述的曲线，让我们先来看看常见的一些曲线——线段、抛物线、圆、椭圆等。哪一个最有可能呢？
根据“两点之间线段最短”的数学原理，“最快路线”会不会是线段呢？答案是：不会。伽利略在《论两门新科学》中已经给出了这样一个明确结果：质点从A点沿圆弧要比沿直线运动先到达B点。
线段不是“最快”的
那圆弧就是要找的曲线吗？伽利略很肯定的回答。但很遗憾的是，这次伽利略失算了。因为在17世纪末期，约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 - 1748）等数学家证明了：最速降线不是我们所常规见到的任何一种曲线，而是一条连结A，B两点的上凹的旋轮线（又称圆滚线或摆线）.
旋轮线的形成动图
旋轮线：一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.
现在看来，“最速降线问题”是17世纪物理学中诸多运动问题中的一个，虽然伽利略没能很好的解决这个问题，但是他关于运动 的研究却产生了一个对数学影响深远的概念——函数。
一、以曲线为基础的函数
◎从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离，与所用的时间成正比.
◎沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比.
伽利略在他的《论两门新科学》一书中，用上面这样的“文字和比例的语言”来表达函数关系.
用现代的符号表示，第一句话描述了落体运动的两个变量：距离s、时间t之间的函数关系. s=k·t^2.而第二句话描述了物体下滑中的两个变量：时间t、距离s之间的函数关系：t=k·s.
伽利略关于函数的研究，只差将文字转化为符号表示了，而同时期的数学家笛卡尔已提到一个变量对另一个变量的依赖关系,但仍旧没有使用符号，并且这里的变量只能是正数。为什么他们都不使用简洁、易懂的符号语言呢？ 答案是，并非不想，而是压根没机会，因为当时代数“符号”的使用并没有得到现在这样的发展和普及.
尽管16世纪的韦达在代数、及符号上已经做了很多工作，17世纪的笛卡尔和费马也通过解析几何将几何问题代数化。但是整个17世纪，仍然是以“几何”为基础构建数学知识的，“符号”在数学、物理的工作中仍然还不够普遍. 因此，在这段时间，关于函数概念的引进，大部分都是被当做曲线来研究的.函数中的变量也经常以“线段”的形式出现。
在引入了几何形式的函数概念后，很多曲线在17世纪得到深入研究。如，正弦曲线、对数曲线、指数曲线、悬链线、旋轮线等。其中，关于“旋轮线”的研究产生了数学史上的第一条“正弦曲线”（1/4个周期）.关于固定两端的悬索的形状研究产生了“悬链线”、“最速降线问题”产生了旋轮线.而对数函数也被作为指数函数的反函数而重新定义。
到了这个世纪末期，牛顿、莱布尼茨把曲线看成动点来研究，并在函数的基础上构建“微积分”，让函数概念在曲线的大前提下有了更深刻的含义，并彻底巩固和确定了函数作为接下来3个世纪的数学“中心”概念，但是他们眼中的函数仍然依托于“曲线”而存在的. 牛顿使用“流数”（(fluxion)）来表示变量间的关系，而莱布尼茨使用的我们现在仍在使用的“函数”（fuction)一词。
总之，17世纪是函数概念的起源时期，它从开始的“文字”描述到之后的依附于曲线的研究，最后到支撑微积分的发展，实质上都是在讨论几何范围内某些变量之间的依赖关系.这是数学概念发展的内因促使，但同时也是当时以“几何”为基础的数学研究所导致的必然结果。但随着“代数”地位的逐步提升，18世纪的“函数”概念有了明显的变化；同时，“函数”作为数学中心概念的进一步确立，也让代数超越几何走到数学的更前沿。
二、以单一表达式为基础的函数
18世纪，大部分的初等函数和部分超越函数已得到很好的研究，但依托于“曲线”的函数概念已不能满足数学发展的需求。于是，约翰·伯努利和欧拉作了重要的尝试，将“函数”作为单独的个体（而非依托于曲线或几何）来研究。
欧拉在他的数学巨著《无穷小分析引论》中，将函数概念“公式化”——“由一个变量和一些常量，通过任何方式形成的解析表达式”，强调
函数要由一个表达式来表示。如z, z^2+1, √z+2等都是z的函数.另外，欧拉还定义了sinz,e^z，logz等函数，一个重大变化是将正弦函数定义为数值比而非线段，并且使用符号f(x)来表示函数。
正弦函数
以此为明显开端，函数从（几何的）曲线中分离了。但是从欧拉关于函数的定义上也可以看出，当时的函数具有“唯一表达式”，没有分段函数的概念，也不允许一个函数有两个表达式。
随着研究的不断深入，人们发现了一个函数有时并不是由一个表达式来表示的。
随后关于波动理论的研究，欧拉也进一步发现了这个定义的局限性：波动理论所导致的方程也不能用一个表达式来表出。这对函数的当前概念提出了严峻挑战——要使得新的研究变得更合理，函数需要一个恰当的延拓，这是下一个世纪数学家的任务。
三、建立的对应关系下的函数
19世纪，柯西从定义变量开始给出了函数的定义：
在柯西的函数定义中，第一次的引入“自变量”一词.在此基础上，1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1809-1859）大胆提出：
对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。
狄利克雷的函数定义强调“运动”与“变化”，而怎样去建立x与y之间的依赖关系并不重要。也就说，函数并不一定要有解析式。这是对18世纪“唯解析式”论的巨大挑战。而最终，狄利克雷的函数概念得到了大众认可而成为“经典概念”。
四、集合理论下的函数概念
但是到了20世纪，“集合论”的诞生，让函数概念的发生了巨大变化。以前函数是构建数学的中心。但是现在数学大厦建立在了“集合论”的基础上。1930年，现代数学正式定义函数：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在几何M上定义一个函数,记为f.元素x称为自变量，元素y称为因变量. 该定义自产生就得到数学家们的一致认可，从此以后，函数的概念就再无新的重要变化。
五、中文“函数”的来源
函数的概念从17世纪诞生开始，在西方得到迅猛发展，促使了像“微积分”等重要数学内容的发现。但是在我国，要直到19世纪，才通过传教士的引入、李善兰翻译而被认知。李善兰在其著作《代数学》中写道：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。由此开始funtion被翻译为“函数”一词。
总之，函数的概念起源于17世纪对运动的研究，经过18、19世纪的发展，到了1837年，狄利克雷从“运动”的角度给出了函数的“经典定义”——
这也是现在初中教材中的定义，它强调了变量之间的关系离不开运动和变化。但是集合作为数学新的基础的发现，最终20世纪从“集合与对应”角度抽象出的函数概念被广泛认可与使用——这也是高中数学教材中的函数定义，该定义除了对“变量”关系的肯定外，还揭示了变量间的“对应”关系这一重要本质.
閱讀更多 數學原來如此 的文章
