勾股定理的證明方法是多樣的，而其中的多種方法是具有共性的。我們知道弦圖，它幫助我們證明了勾股定理，然而弦圖的作用是十分巨大的，如果看透弦圖隱含的各種模型，就能輕而易舉地秒殺中考題。
模型解析
三垂直全等模型其實就是從弦圖中衍生出來的一個模型，深入研究之後就會發現圖形間很多有聯繫的東西。
這裡面隱含了等腰直角三角形，如上圖，很容易構造黃黃全等或紅紅全等。初中數學題目中往往有的題目用三角函數值來刻畫角，為了規避高中知識，弦圖給我們提供了直角三角形的背景，再求角的度數或大小時就回避了高中的三角和差公式。
應用時通常進一步簡化如下三垂直基本圖形模型。
經典考題
1．如圖，等腰Rt△OAB，∠AOB＝90°，斜邊AB交y軸正半軸於點C，若A（3，1），則點C的座標為______．
【解析】：本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性質，座標與圖形性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
過B作BE⊥y軸於E，過A作AF⊥x軸於F，
∴∠BCO＝∠AFO＝90°，
∵A（3，1），∴OF＝3，AF＝1，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠OBC＝∠BOC+∠AOF＝90°，
∴∠BOC＝∠AOF，
∵OA＝OB，∴△BOC≌△AOF（AAS），
∴BC＝AF＝1，OC＝OF＝3，∴B（﹣1，3），
設直線AB的解析式為y＝kx+b，
∴-k+b=3, 3k+b=1,，解得：k=-1/2, b=5/2，
∴直線AB的解析式為y＝﹣1/2x+5/2，
當x＝0時，y＝5/2，∴點C的座標為（0，5/2），
故答案為：（0，5/2）．
2．如圖，已知正方形ABOC的頂點B（2，1），則頂點C的座標為_______．
【解析】：如圖，過B作BF⊥x軸於F，過C作CE⊥y軸於E，
則∠CEO＝∠BFO＝90°，
∵四邊形ABOC是正方形，∴∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，∴△COE≌△BOF（AAS），
∴CE＝BF，OE＝OF，
∵B（2，1），∴OF＝2，BF＝1，
∴CE＝1，OE＝2，∴C（﹣1，2），
故答案為：（﹣1，2）．
變式. 如圖，在平面直角座標系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D為線段BC上的動點，以AD為邊向右側作正方形ADEF，連接CF交DE於點P，則CP的最大值________．
【解答】：如圖，作FQ⊥y軸於點Q，
∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，
∵四邊形ADEF是正方形，∴FA＝AD，∠FAD＝90°，
∴∠FAQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，
易證△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝6，
又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，
∴四邊形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠CDP＝90°，且∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝∠CDP，且∠PCD＝∠AOD＝90°，
3．如圖，a、b、c、d是一組平行線，且每兩條相鄰平行線間的距離均為1，正方形ABCD的四個頂點分別落在這四條直線上，則正方形ABCD的面積為______．
【解析】：作MN⊥l₂，交l₁於M點，交l4於N點．
∵l₁∥l₂∥l₃∥l4，MN⊥l₂，
∴MN⊥l₁，MN⊥l4，即∠AMB＝∠BMC＝90°．
∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°．
∴∠ABM+∠CBN＝90°．
又∵∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠CBN＝∠BAM．
易證△ABM≌△BCN（AAS），∴CN＝BM＝1．
∵BN＝2，∴CB²＝1²+2²＝5，
即正方形ABCD的面積為5．故答案為：5．
4．已知 Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB﹣BC＝2，AC＝4，以三邊分別向外作三個正方形，連接DE，FG，HI，得到六邊形DEFGHI，則六邊形DEFGHI的面積為_______．
【解析】：本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考常考題型．
如圖，作DJ⊥EA交EA的延長線於J，CH⊥AB於H．
∵∠DAC＝∠JAB＝90°，∴∠DAJ＝∠CAB，
∵AD＝AC，∠J＝∠AHC＝90，∴△ADJ≌△ACH（AAS），
∴DJ＝CH，
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交於點E，連接AE，則∠AEB的度數為______．
【解析】：本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵，注意三角形內角和定理和角平分線的定義和正確運用．
作EF⊥AC交CA的延長線於F，EG⊥AB於G，EH⊥BC交CB的延長線於H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，故答案為：45°．
6．如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC邊上一點，以BD為邊，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，連接AE．若BC＝4，AC＝5，則AE的最小值是______．
【解析】：如圖，過點E作EH⊥AC於H，
∵∠BDE＝90°＝∠C，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，
∴△BDC≌△DEH（AAS）
∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E為邊AB上一點，AE＝2，P、Q分別為邊AD、BC上的兩點，且∠PEQ＝45°，若△EPQ為等腰三角形，則AP的長為_______．
【解析】：本題屬於三角形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
（1）如圖1，當PE＝PQ時，作QF⊥AD，則四邊形ABQF是矩形，可得QF＝AB＝6．
∵∠A＝∠PFQ＝∠EPQ＝90°，
∴∠APE+∠QPF＝90°，∠APE+∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠QPF，
∵PE＝PQ，∴△AEP≌△FPQ（AAS），∴AP＝FQ＝6；
（2）如圖2，當QE＝QP時，作PF⊥BC，則四邊形ABFP是矩形，可得PF＝AB＝6，
同法可得：△BEQ≌△FQP（AAS），
∴BE＝FQ＝4，BQ＝FP＝6，∴AP＝BF＝10；
（3）如圖3，當EP＝EQ時，作PM⊥PE交EQ的延長線於點M，作MF⊥AD於點F，MF交BC於點H．
∵EP＝EQ，BE∥MH，
8．如圖，平面直角座標系中，長方形OABC，點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，OA＝6，OC＝3．∠DOE＝45°，OD，OE分別交BC，AB於點D，E，且CD＝2，則點E座標為_______．
【解析】：本題考查了矩形的性質，座標與圖形性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，添加恰當輔助線是本題的關鍵．
如圖，過點E作EF⊥OE交OD延長線於點F，過點F作FG⊥AB交AB延長線於點G，作FH⊥BC於H，
∵∠EOF＝45°，EF⊥EO，∴∠EOF＝∠EFO＝45°，∴OE＝EF，
∵∠AOE+∠AEO＝90°，∠AEO+∠GEF＝90°，
∴∠GEF＝∠AOE，且∠OAE＝∠G＝90°，OE＝EF，
∴△AEO≌△GEF（AAS），∴AE＝GF，EG＝AO＝6，
∴BG＝EG﹣BE＝6﹣（3﹣AE）＝3+AE，
∵FH⊥BC，∠G＝∠CBG＝90°，
∴四邊形BGFH是矩形，
∴BH＝GF＝AE，BG＝HF＝3+AE，HF∥BG∥OC，
∴HD＝BD﹣BH＝4﹣AE，
∵HF∥OC，∴△ODC∽△FDH，
∴HF/OC=HD/CD，∴(3+AE)/3=(4-AE)/2,
∴AE＝6/5，∴點E（6/5，6）.故答案為：（6/5，6）.
跟蹤訓練
進階提升
解析：(1)不存在，可證全等，並得出DE+CD=AD，而斜邊長為2，故直角邊AD不可能為3;
(2)①運動路徑是圓弧：路徑長為1/2 π; ②掃過面積為1。
解析：(1)√5/5
(2)延長DE於G，使得FG⊥DE，作CM⊥EG，易證△CEM≌△EFG，則FG=EM，設DE=x，EF=√5x，則x+√5x=√5+1，x=1，則FG=1=DE，所以面積=1/2.
解析：作DM⊥BC，易證全等，再證△OMC≌△ABO，CM=AB=4，而△BOM為等腰直角三角形，所以BM=4，BC=8，勾股得AC平方為80，故面積為80。
方法總結
我們可以找到此類問題的解法：題目條件中有比值刻畫的角，包含（等腰）直角三角形、等邊三角形時. 我們可以用弦圖溝通彼此聯繫。也就是平時的基本模型--"一線三直角"，其實題目還可以進一步構造成矩形，矩形框圖往往也是一招必殺技！
構造三垂直全等，一方面可以得到相等線段，在幾何圖形中作等量代換．另外在座標系中構造三垂直全等，可實現"化斜為直"，用水平或豎直線段刻畫圖中的點與線，會更方便計算。
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