蓝染惣右介9597506

三年级的小学生是惹你了，还是怎么了，要这样子对他，虽然我也是这样对待我的8岁表妹的。

学习傅立叶变换，还是用动图比较靠谱，才更生动形象嘛！那就先上图。

有点求知欲的孩子，看到这个总比看到一堆问题舒服吧。

两张动图之后，那我们还是回来说说我们的工科大神器——傅立叶变化。

插个小故事：既然这里要讲傅立叶变化，那还是要简单说一下傅立叶。

出生于法国的傅立叶除了是一名浪漫的法国数学家，同时也是一名视角独特的数学家。

在当时的数学圈子，所有的数学家只对各种纯数学理论进行研究，根本就不注重研究内容的实用性，相当于一心只想着发论文，从不考虑研究内容是否有研究意义。

而独特的傅立叶不像其他科学家那般死抓着纯数学研究，而是致力于将数学应用于实际生产。

事实上，这种研究理念与当时纯数学研究为主格格不入，幸运的地是傅立叶遇到拿破仑，一个超级热爱科学的皇帝，受到拿破仑器重。

受到重要的傅立叶没有停下学术研究的脚步，继续着他对数学的探索。

1811年，傅立叶向科学院提交二次修改过后的文章《热的传播》，该篇文章也为傅立叶获得了科学院大奖。

傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程

也就因为这个基本思想，直接造福工程界、数学界。

甚至在数学界、工程界有这么一句传说：

有一种运算，把微积分变成加减乘除，它叫傅立叶变换。

讲了那么多，那傅立叶变化到底怎么解决问题的呢？

我们先来讲讲傅立叶变换的基本原理是：

简单来说，就是多个正余弦波叠加（蓝色）可以用来近似任何一个原始的周期函数（红色）。

超模君，你讲了这么多，我愣是没听懂。。。

超模君：。。。

那我们假象一下，当我们去买菜的时候，各种蔬菜都不一样，但都能买的每种菜转换成“n个1块+m个1毛”的组合（默念，3年级应该懂了吧）。

此时，那我们把上面图片中

一下子计算就简单许多了，这时你只要知道加减乘除就可以了。

也正因为傅立叶变换有趣的简化方式，使得傅立叶变换成为工程和物理领域里最重要的数学公式之一。

超级数学建模

首先纠正一下标题，是「傅立叶级数」，不是「傅立叶级」。

好，言归正传，傅立叶分解在数学分析、工程、信号处理中，都有广泛且重要的应用，如何让小学生理解傅立叶级数呢？我觉得首先要让小学生对其有直觉上的理解。

先用积木做比喻。如果有一个任务，是用积木粘成特定的雕塑。一开始的时候，我们只有大块的积木，这个时候，智能构造简单、粗略的结构；而后，我们又被分到了细小的积木，雕塑开始有具体的轮廓了；最后，我们分到了沙粒，我们可以雕刻极为细微的结构了。傅立叶分解也是类似的，将一个函数分解成「不同大小的细节」。

比如下面这个：

大尺度的细节，就是一个简单的曲线，而没有局部细小的凹凸。而小尺度的细节，则是各个局部细小的凹凸。傅立叶展开，就是要将一个函数分解成这样的不同部分。

但它之所以有用、重要，是在于傅立叶级数可以拟合所有有界函数，即函数值不会出现无穷大这样的点。这是因为，用数学的语言来说，叫做「傅立叶级数是这些函数的正交基」，用形象的语言来说，傅立叶级数是一个「万能拼图」，只要调整不同级数的比例，就可以拟合各类函数。

对于特定的函数，可以进行傅立叶展开。如果这个函数看起来就有很多「尖峰」的话，那么直觉上可以知道，它的傅立叶展开中，包含很多「细小」的级数，即频率非常高的部分；相反的，如果看起来非常光滑，平坦，那么就会更多包涵频率低的部分。

章彦博

傅里叶变换是任何波形的信号都可以用正弦函数的组合来近似逼真的表现出来。对三年级小学生讲清楚这种替代算法，可以用他们比较好接受的整数数列的形式，比如548267391这个数的队列，正常角度看是数的杂乱排列，相当于无规律的任意波形，而要把他用能易懂的形式表达出来，可以用有规律的数列进行组合而成，比如由2345+1234+5678+12+3456+4567+123+6789+1，每个小数列都是按规律排列，可以用函数表达的，小数列通过一定加减运算组合起来，构成无规律的原数列波形信号。而在电路实际分析中，每一个小数列的频率属性是基本频率的倍数。

四十养生

对于一个三年级的小学生而言，加减乘除应该会了，在这个基础上，可以简单给他们讲解一下傅里叶变换的基本原理。

你可以给他拿一个文具盒，文具盒里面有很多文具，铅笔、橡皮、钢笔、胶带等等。假如说所有人的文具盒盒子本身是一样的、各种文具的品牌和使用程度也是一样的，那么怎么才能够说两个文具盒是一样的呢？简单来说，就是看里面铅笔、橡皮、钢笔和胶带的数量。

而且你需要强调的是，因为铅笔和橡皮不能互换，不能说一支铅笔和两个橡皮是一回事，所以说如果要两个文具盒一样，那么必须要铅笔的数量等于铅笔的数量，橡皮的数量等于橡皮的数量。

比如说，一个人的文具盒里有1X铅笔，2X橡皮，3X钢笔，4X胶带，而另一个人文具盒里有4X铅笔，3X橡皮，2X钢笔，1X胶带，那么这两个人的文具盒就是不一样的。直到找到另外一个文具盒，里面同样是有1X铅笔，2X橡皮，3X钢笔，4X胶带，这样的两个文具盒才是一样的。

但是打开文具盒之后，看到花花绿绿一大片，很复杂，而且这种“1X铅笔，2X橡皮，3X钢笔，4X胶带”的描述，也很复杂、很烦人，所以所有的人都商量好了，在自己的文具盒上标了一串数字，比如说1234，就代表“1X铅笔，2X橡皮，3X钢笔，4X胶带”，那么这样大家都非常容易找到跟自己一样的文具盒，而且两个文具盒合并起来，就不要先把文具混到一起、然后数有多少支铅笔、多少个橡皮，直接把对应的数字相加就好了，比如说写上1234的文具盒和写着2345的文具盒合到一起，就直接变成3579的文具盒了。

所谓的傅里叶变换也是这样的，一个很复杂的线段，就好像装了各种文具的文具盒一样，虽然看起来很乱、没有规律，但是我们总是可以从中找到一些可以归为某一个单位的量，就好像是文具盒里面固定的文具一样，这些文具彼此之间不可以替代，但是我们只要掌握了各个文具的数量，我们自然就知道了文具盒的特征了。

所以说，傅里叶变换的本质就是分解，把复杂的东西变得简单。比如说下面这个图，就是把一个复杂的图形变成了非常非常简单的图形的叠加。

当然了，更深层次的东西，我觉得不适合跟小孩子讲，通过傅里叶变换把一些简单的线性叠加的思想告诉小朋友就好了。

航小北的日常科普

一、先灌输一个简单的概念：吃一个大包子能吃饱，换作吃许多小笼包也能吃饱，也就是说同样的东西可以用别一种形式来替代。

二、直接给结论，再讲解规则：表达公式，大科学家说的，不要问为什么，否则1+2=3都会折腾半生；定义是，任意一个波形都可以用不同频率（幅度也不尽相同）正弦波合在一起来表示。

三、再举个栗子：一个小提琴的声音也可以电子合成器来生成，合成器中就是许多不同音量的正弦振荡频率合在一起而产生的。

失手打在六寸上

把小孩拉到电脑前，打开播放器播放音乐，播放软件通常有频谱显示。录他的两个声音，一个是低声一个尖叫声，先播放低声让他观察鼓音频谱特性look,低的部分比较强一些(还要先解释下坐标系)。再让他观察尖叫声音的频谱特性。最后总结声音的组成，告诉他所有声音都是由不同的高低组成的，那么什么高低呢？我们把它称做频率，是频率高低。而傅立叶变换就是用来看看声音到底是由哪些不同的高低成分所组成的，相当于一个工具，数学的工具。不仅声音其他所有的有时间能量特性的信号都可以这样分析。具体怎么变换要慢慢学数学，千万别告诉他还得学十年。最关键的是要让他知道学这个有啥用，就为了播放器软件更好看吗？当然不是，你可以用来让电脑分辨出爸爸妈妈声音，还可以让电脑通过声音分辨出你拨出的电话号码，还可以让电脑知道家里的洗衣机是不是快洗完在排水了，还可以用小设备戴身上就知道你在睡觉还是在跑步，还可以发明一个设备让医生知道病人的心脏是不是有毛病。三年级的小孩给他讲微积分不现实，关键的是要引发兴趣。也不是不能讲，关键太累。比如简单告诉他积分大概就是一年你存的钱等于每天存钱之和，微分就是隔天存钱数量的差别。要具体设计场景，从现实到抽象地讲解。数学是一门实用性实验性很强的学问，我们的学校都教错了。

harrylau

傅立叶级数是干这个事情的：分析一段数据，看看它是由哪些频率的正弦波组成，每个频率的正弦波的幅值有多大、相位是多少。它的基础是同频识别：正弦波与同频率的正弦波相乘后的累加值是非零值，而与不同频率的正弦波相乘的累加值是0。打个不太严谨的例子，有一伙人，由不同国籍的人组成，用中文、英文、法文…喊话，听见中文有反应的是中国人，听见英文有反应的是英国人……。按这个思路分析是，每个频率要乘两次，一次是正弦，一次是余弦，（这能保住不管相位是什么，总能找到它的正确幅值和相位），如果频率很多，这个计算量很大，后来（1960年代）有人发明了快速算法，适用于数据点数是2的n次方。称之为FFT，即快速傅立叶变换。后来又有人发明了许多算法，数据点数不是2的n次方,也能算的很快。傅立叶级数适用于无限次重复的周期信号，每次分析只取一个整周期长度的波形来分析。潜在的含义是这一段数据是一个周期的，它是无限次重复的。对于非周期信号，概念上有所变化，叫傅立叶积分。但是数字化的快速算法一致，只是相差一个倍数。所以FFT对于周期或者非周期信号都能用。只是要搞清楚概念和那个系数。

new电动车快快来

我觉得不可能让三年小孩听明白，那三年内本人数字傅立叶变换、小波分析、函数分析全挂，现在孩子六年级，刚才试着对他讲fft，自己都快糊涂，直接放弃。妈蛋的，谁提的问题，让人痛苦的回忆！

后院大叔

这种东西你就说出个花儿来也不是小学生能听懂的，想听懂这个最起码得会三角函数和微积分吧，要使用怎么也得会拉布卡斯变换吧，小学三年级正负数都没学你让他听这个？傅里叶传奇的人生故事倒是可以讲一讲

fri

小学三年级的孩子，思维还处在从具体的事物，到简单抽象的阶段。对于孩子来说，直接用图像与现实中事物产生链接就足够了。引起孩子的好奇心，留个悬念，让孩子们寻找与图像相关的曲线，公式和定义，原理，留到大学就好。

重要的不是如何让孩子们听懂，那是你的需求。孩子们需要的，是与其思维发展阶段相适应的课程设计。

關鍵字: 数学 傅里叶 科学