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这个问题笔者感觉相当超级庞大，涉及现代数学发展潮流及趋势，相当抽象高深，研究生级别的课题，作为数学爱好者笔者斗胆班门弄斧，回答不当之处，留言点评，后续不断完善。
引语
"我们必须知道，我们必将知道"。你听到的，正是90年前，1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，也是鼓舞一代数学家的六个单词。尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的。他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。
这是何等的气魄！这是何等的梦想！但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。
希尔伯特是一位名副其实的数学大师，被誉为“数学界最后一位全才”，他看待数学的眼光也是相当深刻的。在23岁时，他便以一篇关于“不变量理论”的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。
在这篇论文中，希尔伯特使用了非构造性的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。他的证明依赖于对无穷的对象使用排中律，从而遭到了不少人的质疑。所谓的排中律，指的就是一件事非真即假，那么为什么针对这个还有反对的意见呢？
罗素悖论引发出数学三个流派
集合论是在19 世纪末由康托建立的, 使集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900 年，在巴黎召开的国际数学家大会上， 庞加莱曾满怀信心的说：“ 现在我们可以说， 完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年，英国数学家罗素于1902 年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定相关书籍的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。从1900 年到1930 年的30 年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个流派。
1907年美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。
直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔, 从1907 年布劳威尔的博士论文《数学的基础》开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。他的数学观包括以下几个方面：
(1) 他对数学对象的观点。
直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。布劳威尔提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。
他们不承认不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。实无穷论者认为“自然数全体” 就是指自然数集 {1 ，2，3，,,} ，这是一个确实存在了的完成了的集合，可以而且应该作为数学研究的对象。潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然数1， 2，3...,只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭实体。所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。
(2) 对数学所用的逻辑的观点。
布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。
直觉主义对20 世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30 年代以后，由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。1967 年，美国数学家毕肖普完成并出版《构造性分析》一书，开始了直觉主义学派的构造主义时期。
有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战
1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。
排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧，指每一个数学命题要么对，要么错，没有其他可能性。
布劳威尔不认同，他坚持认为第三种情况是存在的。
1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
他经常质疑建立在排中律基础上的数学证明，称他们是“所谓的证明”。
1920 年，他声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。”
后来希尔伯特实在忍无可忍，回应道：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”
希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。
1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。
在 1919 年的《直觉主义的集合论》，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。
拓扑学 (topology) 是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
在大约 1920 年后，他向外界发布了这些成果，这显然是对希尔伯特的挑战。
康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。
希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数，他认为，为了加强数学的基础，支持康托的观念将是必要的。
而且希尔伯特在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23 个数学问题”，这里面都涉及到了拓扑学。
比如说这样一个命题：π中含有任意长度的连续数字9。如果我们接受排中律的话，这个命题非真即假。但无论这个命题是真是假，我们都无法在实际上验证，因为要验证这个命题，我们都要将π无穷地计算下去，而这是不可能做到的。所以，人们对于将排中律用到这种无穷的情况仍有顾虑，因为这不是人们的直觉所能掌握的范围。
也许正是因为这件事，希尔伯特动起了为整个数学寻求一个坚实基础的念头，于是经过多年在不同数学领域富有成果的涉猎后，希尔伯特将目光投向了整个数学。对平面几何学的严格公理化，可能是他在这方面的第一个尝试，但他的思考绝不仅限于几何。他的目标是将整个数学体系严格公理化，然后用元数学，也就是“证明数学的数学”，来证明整个数学体系是坚实的。
为了这个目标，他制定了著名的希尔伯特计划。
首先，将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。这使得数学家可以摆脱自然语言的模糊性，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。
计划的第二步是证明数学是完整的。这个完整包含了两个方面，一是完备，二是一致。所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；另一方面，不会推出自相矛盾的陈述，则被称为数学的一致性。完备性保证了我们能证明所有的真理，只要是真的就可以证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。
计划的最后一步是找到一个算法，可以机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。
那么如果希尔伯特的这三个计划完成了，意味着什么？首先，一致性是很重要的，因为我们不能接受比如说“哥德巴赫猜想既对又不对”这样的结论，一致性无疑就保证了自相矛盾的情况不会出现。在保证数学的一致性这个前提下，我们又有数学的完备性，也就是说只要是真的都可以证明。
面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评，希尔伯特认为经典数学，以及在集合论基础上发展起来的新数学，都是人类最有价值的精神财富，是不能丢弃的,他说：“禁止数学家使用排中原则，就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样。”
希尔伯特认为只要将数学形式化"构成形式系统"然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。
受希尔伯特规划的影响，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文，论证了两个著名的定理：1. 一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的那么就是不完备的（第一不完备性定理）；2. 如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证（第二不完备性定理）。哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反，彻底粉碎了希尔伯特的梦想。
哥德尔对形式主义者方案的冲击，尽管对更富雄心和哲学冲动的希尔伯特学派是毁灭性的，但也大大推进了他们一些较少雄心的目标，证明论在元数学算术化、可计算理论和递归函数中得以具体化。
哥德尔一生在科学上取得了辉煌的成就，他证明了一阶谓词演算的完全性算术形式系统的不完全性，连续统假设和集合论公理的相对协调性等三大难题，被公认为人类历史上继亚里士多德和莱布尼兹之后最伟大的逻辑学家。他独辟蹊径的研究成果犹如智者的棒喝，断然终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想"但也使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界。他说：“数学不仅是不完全的，还是不可完全的。”
结语
我们在这里看到数学的矛盾和争论，看到反复斟酌的公理。有人疑惑到底这些公理对不对？到底是信仰还是事实，在矛盾之中，哪个是真理？这是对数学不理解了，数学的研究是从一些非常基本的假设中，应用逻辑来看能够走多远，能够得到什么有用的结论。这些假设只要是自洽的，无关对错，只关是否有用，能否在应用时被接受。构成数学体系称为公理的假设，很多是非常基本近乎定义性的同语反复。还有一些公理被引入，是为了修补支撑已在实践中被广泛应用的数学结果和工具。被排斥的一些公理，不是因为错了，而是假设太强了，在这假设下得不到足够广泛有用的结果。
数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。
参考文献：
1.方弦,希尔伯特之梦，以及梦的破灭;
2.郭龙先 黄永，数学史上的哲学绝唱--无穷观与数学基础的争论，《广西民族大学学报》2014年11月。
中学数学深度研究
排中律指同一个思维过程中，两个相互矛盾的思想不能同假，必有一真。
回答题目前，我想讨论一下说谎者悖论。
一个人说：我说的这句话是谎言。
这个悖论很简洁，但一点都不简单。
个人认为：问题出在"这句话"的定义。当说谎者在说话时，"这句话"还处于"产生"的过程中，既然是一个还在产生过程中的概念，我们只能把握到的永远是它的部分（这句话可以有无数个字符组成，即无限的长），而不是整体，那么我们就无法对整体进行真假的判断。当说谎者停止，我们就会"确认"话说完了，此时我们进行验证真假，就会出现整体上这句话与内容中的"这句话"三个字的"概念滑动"，也就是说我们验证时，会陷入违反"同一律"的困境。
即对于这个悖论，我们只能做选择题：
1."同一律"和"矛盾律"选择一个。
2."同一律"和"排中律"选择一个。
我会选择"同一律"。
回到题目，无穷集合指的是元素个数是无穷大的集合。所以无穷集合可以是一个整体概念，也可以是一个构建过程中的概念。
当读命题时，无限集合是一个整体，当我们验证时，无限集合是一个构造中的部分。
本号置顶《杂问003》也是讨论这方面的逻辑，可以看看。
岐黄新问
在一些情形下的确不能使用排中律，比如，数学分析里的微分dx，它的长度是零？还是非零？两个结论都不能用！实际上，它与＂飞矢不动＂悖论是同一个问题。只要是涉及到这一问题，现有的所有数学分析教科书用的都是含糊的语言，形式逻辑立刻就会显得无能为力。问题就出在人们都是在用形式逻辑语言来展开数学分析，而数学分析是研究运动、研究无穷的，完全靠形式逻辑是有问题的。
