《易·繫辭》中說：“上古結繩而治，後世聖人易之以書契”，說明古人結繩和契刻的方式記數和記事

半坡陶符光影圖

然而，很多人認為中國的古代數學其實不是數學，最多被稱為算術或者算學，不同於西方以古希臘為代表的基於邏輯推理下的數學。比如：勾股定理，無論是有記載或者沒記載的，雖然中國對其發現早於西方几百年，但長時間的知其然，不知其所以然。我們對其證明要晚於西方數學界，直到現在西方數學也稱該定理為“畢達哥拉斯定理”，畢竟人家是有記錄的第一個把勾股定理給予證明的！

事實上，中國的數學並不是不堪一擊，我們今天講的球的體積公式，確實是由中國人一板一眼的推出來的！並且推導過程均是勝在取巧，本文將出現的三個關鍵詞：《九章算術》，劉徽，祖𣈶！讓我們一起來領略古代數學的魅力！

一、《九章算術》

《九章算術》，作者不詳，經西漢的張蒼、耿壽昌等人刪補而成，在唐宋兩代，它是朝廷明令要求的官方數學教科書，也就是說雖然高考不考，但是也算是必修課程。

《九章算術》的“少廣”章主要解決兩個問題，“開方術”和“開立方術”，該章的第二十四問：“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？”也就是問：“已知體積是1644866437500尺的球，求這個球的直徑是多少？”

具體方法在“開立圓術”這樣說道：“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”意思是說：“把體積乘以16，再除以9，然後開立方，就得到球的直徑了。”

更直白的說，《九章》認為正方體的體積和它的內切球的體積之比是：16：9。用現代數學的觀點來看，顯然不精確，但是在當時已經是非常了不得了。那麼，這個16:9是如何來的呢？這裡要引入古代數學中常見的兩個名詞：“方”和“圓”，一個正方形和一個圓形。現在我們知道正方形和它的內切圓的面積之比是4：π，由於古代《周髀算經》對圓周率有“徑一週三”的記載，故圓周率取3，就得到了“方”和“圓”的面積之比是4:3。

最後，把圓柱體視為“方”，把球體視為“圓”，由於“方”：“圓”=4:3，所以得到這個兩個公式：正方體：圓柱=4:3；圓柱：球=4:3。所以正方體：球=16:9。

雖然不是很精確，但也不得不佩服古人的智慧，古人用圓柱作為過渡量，而不是粗暴的將“方”“圓”做比例。

二、劉徽

劉徽，魏晉時期偉大數學家。著有《九章算術注》和《海島算經》。

就在他為《九章》做注的時候，發現上述推理過程中的錯誤，即“圓柱：球=4:3”是錯誤的。我們可以把原公式中的3還原成π，那麼得到“圓柱：球=4:π”。現在不妨用現在數學知識進行推導，設球半徑是r，圓柱的高是2r，則圓柱體積=2πr³，而球體積=4/3πr³，二者之比=3:2。確實是問題比較大。

發現問題，就要解決問題。如何能正確得到球的體積公式呢？正所謂“從哪裡跌倒，就從哪裡爬起來”，我們的劉徽還是從正方體出發。他構思了一個看似奇葩，卻有確實有效的物體，它叫做“牟合方蓋”。

這裡的“牟”意思是相同。“蓋”意思是傘。“牟合方蓋”就是指兩個面合在一起的兩個相同的方傘。它是由一個正方體出發，先用豎直方向的內切圓柱截正方體，得到一個圓柱體，再用水平方向的圓柱再截一次，兩個圓柱的共同部分所形成的幾何體，就叫做“牟合方蓋”。

看似容易的一個方蓋，這一創舉足以讓劉徽名垂青史，雖然劉徽的貢獻還有很多，比如我們都知道圓周率和祖沖之，但殊不知祖沖之計算圓周率的理論支撐是“割圓術”，而“割圓術”的發明者正是劉徽，並且劉徽將圓周率計算到3.14，只不過祖沖之的圓周率更精確罷了。牛頓說：“我之所以比別人看得遠一些，是因為我站在巨人的肩膀上”，此時祖沖之有話說：“巨人肩膀，我們都值得擁有！”

“牟合方蓋”恰好把正方體的內切求包含在內，並且二者是相切的關係。如果用一個水平面去截方蓋，會得到一個正方形和一個內切圓，二者的面積比例是4：π。從而得到“方蓋”和“球”的體積之比是4：π。現在所有的工作重心落在瞭如何求出“牟合方蓋”的體積，一旦求出該體積，球的體積瞬間即可攻破！

此時，劇情出現了轉折，劉徽說：“敢不闕言，以侯能言者。”翻譯過來就是：“我弄不了了，誰行誰上吧！”顯然，就當時的社會情況，你劉徽大神都搞不定，誰能接住這個活啊？至此，球的體積告一段落。讓我們一起等待另一個巨匠的出現！

三、祖𣈶

祖𣈶[gèng]，南北朝時期，祖沖之之子。不得不佩服祖氏一家這優秀的基因，打虎親兄弟，上陣父子兵，爺倆互相學習，共同發展，也是當今社會親子關係的典範！

祖𣈶認為，要想成就一番事業，巨人的肩膀還是要踩的，自己的爸比用了劉徽的“割圓術”，成功的精確的計算了圓周率，榮登數學大神之列，而他將用劉徽大神的“牟合方蓋”，繼續為祖氏家族添光加彩。

小祖同學知道球的體積就是卡在如何求出“牟合方蓋”體積，而他選擇攻破的恰恰就是這個方蓋的體積。顯然硬算肯定是不靈的，必須要取巧。

也許在某一年的某一天，祖𣈶在家裡閒著無事，看著一些銅錢發呆。他發現：這兩摞銅錢，每摞十個，無論怎麼樣擺放，這兩摞銅錢的體積一定是相等的。這麼弱智的結論激起了祖𣈶的好奇心，為什麼會這樣呢？

原因是它們在任意截面處有相同的面積，所以它們的體積是相等的。在此基礎上，誕生了著名的“祖𣈶原理”：冪勢既同，則積不容。就是說：如果兩個幾何體在任意截面處的面積都相等，那麼這兩個幾何體的體積是相等的！要知道在西方，需要等到一千年後，由意大利數學家卡瓦列利才提出這一原理。

有了這個原理，就不需要硬求“牟合方蓋”的體積了，只需要找到一個和“牟合方蓋”體積相同的幾何體，這個幾何體需要滿足兩個條件：①簡單易求，②與方蓋滿足“冪勢既同，則積不容”。

又到了腦洞大開的時間，這個幾何體終於被小祖同學找到了。

首先，小祖把“牟合方蓋”進行8等分

我們把它稱之為8個“小方蓋”，切割方法是：俯視方蓋，橫豎兩刀，正視方蓋，橫著來一刀。（如果想象不出來，不妨做一道小學奧數題：如何用三刀把一塊蛋糕分成八塊？）這個時候只一個小方蓋，整個方蓋就搞定了。

牟合方蓋被8等分

牟合方蓋被8等分後，其中的一塊

接下來，小祖發現，找到這樣的一個幾何體還是很困難的，再次“取巧”，動用“割補法”

當我們求不出目標幾何體的體積，試圖把它不成一個規則的幾何體，再減去剩餘部分就行了。接下來我們詳細展示一下小祖是如何運用“祖𣈶原理”求出“小方蓋”的體積的。我們會用到大量的現代數學符號，而當時小祖同學卻沒有這些便利的工具，所以說小祖同學的智力確實是卓越非凡的！

設球的體積是r，將“小方蓋”放在稜長為r的正方體中，定義：把正方體中除去小方蓋部分稱為“小方蓋剩餘”，找到與其“冪勢既同”的幾何體。先計算圖二的陰影，在用正方形的面積減圖二陰影，得到圖一的陰影面積。再構建一個倒放的四稜錐，使得與“小方蓋剩餘”符合“祖𣈶原理”。

具體過程：

這樣來看圖三的四稜錐的體積與小方蓋剩餘的體積必然相等。則：

再根據劉徽的體積比例：“方蓋”和“球”的體積之比是4：π，此時可得到球的體積是4/3πr³，這就是世界公認的球體積公式。球的體積公式是由中國人獨立研發，先後經歷三個版本，經過千年測試均可完美運行。更重要的，其推理方法，附屬定理，讓解決其他數學問題變得有章可循！

經過幾代人的努力，終於使中國數學在世界範圍內留下了光輝燦爛的一筆！

確實，中國古代數學不同於古希臘數學，是完全的另一套體系，我們的內容多來自生產與實踐，算法程序化和機械化，注重應用。在算法上，我們說第二，就無人敢說第一！比如，十進位制、今有術、盈不足術等等算法，曾經傳到印度和阿拉伯，再由這些國家傳到歐洲乃至全世界，對世界數學的發展起到非常大的促進作用！

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關鍵字: 數學 國創上頭條 畢達哥拉斯