趣味數學
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《九章算術》第七章介紹了盈虧問題，這一類問題是把一定數量的物品平均分給若干對象，每個對象少分，則物品有餘；如果每個對象多分，則物品不足。所以分物時經常出現盈（有餘）、虧（不足）、盡（恰好分完）的情況，所以古人把這類問題稱為盈不足問題。
盈虧問題情況多樣，解法巧妙，倍受古人重視，在許多古代算書上留下了不少好題。下面選取其中的一個給同學欣賞：
題 目
今有人共買物，
人出八，盈三；
人出七，不足四，
問人數，物價各幾何？
題意：有一群人湊錢買一件物品。如果每人出8枚錢幣，就比物價多出3個錢幣。如果每人出7枚錢幣，就比物價少4個錢幣。求人數和錢數各是多少？
分析：這是屬於“一盈一虧”類的問題。當第一次每人出8枚錢幣時多3枚，當第二次每人出7枚錢幣時不但不多，還要少4枚，即第二次比第一次共少了4＋3＝7枚。這是由於第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚錢幣。相差7枚，就說明有7÷1＝7人。這樣物價也就可以算出來了。
解答：4＋3＝7（枚）
8－7＝1（枚）
7÷1＝7（人）
7×8–3=53（枚）
答：一共有7人，物價為53枚。
事實上，古代數學家發現，在計算人數（即分物對象的個數）時，還有一個簡單易記、琅琅上口的口訣：“有餘加不足，大減小來除”。這種算法的絕妙之處在於它幾乎可以不動腦筋，只要把幾個數按口訣對號入座，馬上可以得出答案。
同學們如果你學會了，有興趣就試試下面這個題目吧！
錢幾何
今有散錢不知其數，
作七十七陌穿之，欠五十湊穿；
作七十八陌穿之，不多不少。問錢數幾何？
題意：有一些零散的錢幣，如果每77枚穿成一串，那麼還會剩50枚沒穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。這些錢幣共有多少枚？
分析與解答：這道題屬於“一盈一虧”類的問題。當77枚錢幣為一串時，還餘50枚沒穿，當78枚錢幣為一串時，正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78－77＝1枚）時，餘下的50枚剛好被穿完，說明有50串。
解：串數：50÷（78－77）＝50（串）
錢數：78×50＝3900（枚）?或?錢數：77×50＋50＝3900（枚）
02
奧數小練
盈虧問題的基本數量關係是：（盈＋虧）÷兩次所分之差=人數；還有一些非標準的盈虧問題，它們被分為四類：1.兩盈：兩次分配都有多餘；2.兩不足：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有餘，一次分配夠分；4，不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。
一些非標準的盈虧問題都是由標準的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：
1.“兩虧”問題的數量關係是：兩次虧數的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數；
2.“兩盈”問題的數量關係是：兩次盈數的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數；
3.“一盈一虧”問題的數量關係是：盈與虧的和÷兩次分得的差=參與分配對象總數。
【例題1】某校乒乓球隊有若干名學生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數的一半。乒乓球隊共有多少名學生？
【思路導航】
（1）由“少一個女生，增加一個男生，則男生為總人數的一半”可知：女生比男生多2人；
（2）“少一個男生，增加一個女生”後，女生就比男生多2＋2=4人，這時男生為女生人數的一半，即現在女生有4×2=8人。
原來女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
【例題2】幼兒園老師拿出蘋果發給小朋友。如果平均分給小朋友，則少4個；如果每個小朋友只發給4個，則老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？
【思路導航】如果平均分給小朋友，則少4個，說明小朋友人數大於4；如果每個小朋友只發給4個，則教師也能留下4個，說明每人少拿若干個，就少拿4＋4=8個蘋果。因為小朋友人數大於4，所以，一定是每人少拿1個，有8÷1=8個小朋友，有8×4＋4=36個蘋果。
【例題3】幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學生每人5個餘10個；如果分給小班的學生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？
【思路導航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數同樣多。這樣，大班每人5個就多餘3×5＋10=25個。由於兩班人數相等，小班每人多分3個就要多分（25＋2）個蘋果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同學的人數是9人，再用9×8－2就求出了這筐蘋果有多少個。
【例題4】幼兒園教師把一箱餅乾分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？
【思路導航】這箱餅乾分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說明中班的人數是小班人數的6÷4=1.5倍。因此，這箱餅乾分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9塊，一共可分到6＋9=15塊餅乾。
【例題5】全班同學去划船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學；如果增加一條船，每條船正好坐6個同學。這個班有多少個同學？
【思路導航】根據題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個同學；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個同學。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15裡面包含5個（9－6），說明有5條船。知道了有5條船，就可以求全班人數：9×（5－1）=36人。
