几何原本的五个公理，缺少零点公设

欧几里得的几何公理，依然作为现代数学的公理，根本没有关于点的“零点公设”。

公设1：两点之间可画直线。公设2：有限线段可延长。公设3：以点为心可画圆。公设4：直角皆相等。公设5：内错角相等的两直线平行。

现代数学补充的零点公设是自相矛盾的

一方面说“点是没有大小的零元素”，另一方面说“点是几何图形的组成部分”。若干个零值的总和，能等于一个非零值么？

①点是几何图形最基本的组成部分。②是空间中作为 1 个 0 维的对象。③点是空间中只有位置，没有大小的图形。④在二维空间中，点是 1 组有序数对。⑤在笛卡尔坐标系中，点可以精确定位。

这里，把无穷小变量“1/∞”与绝对值常量“0”混为一谈，导致概念上的混乱。

我建议，至少考虑“四个零点公设”

零点，是一个多语境的数理范畴，有坐标系的原点、坐标值的对应点、对消性零值、无限分割的微分值，即dx→0，dx≠0，不是dx=0。

零点公设1：零点表示绝对参照系坐标原点。

数学源于物理，物理需要数学，数理不分家。物理学的参照系，相当于数学上的坐标系。绝对参照系有两个选择：

①以母系统S作为相对静止的零点(0,0,0,0)，来测量子系统的结构特征与运动状态；

②以较大子系统S作为相对静止的坐标零点(0,0,0,0)，来测量较小子系统的结构特征与运动状态。

就洛伦兹变换因子γ=1/√(1-v²/c²)而言，v≠0是相对参照系S的坐标原点的速度，可以折换为绝对参照系S0的速度v0=0。

零点公设2：零点表示系统所处的平衡位置。

例如：桌面上有一静止物体，桌面与物体的接触面上的一点，叫平衡态零点。

零点公设3：零点表示两参数相互抵消的值。

例如：3-3=0，F-G=0。

零点公设4：零点表示无限分割的无穷小量。

无穷小量可表示为微分或极限形式，规定1/∞→0但≠0。例如

线段无穷小量：dx, dL。时间无穷小量：dt。面积无穷小量：dS。体积无穷小量：dV。

回答本题：按零点公设4，若干个无穷小量的点，当然可以构造一个线。

物理新物视野旨在批判性与建设性的新思维，关注我的主页，切磋物理疑难。

物理新视野

这真的是一个好问题，忍不住不请自来说说我的理解。首先为什么题主认为点没有大小，而线有长度这两件事是有矛盾的呢？我猜测恐怕是因为一句常见的说法“积点成线，积线成面”而产生的疑问:既然点没有长度，那么为什么点的集合线就有长度了呢？再多的0加到一起不仍然是0吗？

如果题主确实是由类似原因产生的疑问，我不得不称赞一声感觉敏锐。因为这确实是上边那个说法的死穴——线确实可以看做点的集合，但线的长度并不是靠点累积出来的。

我们可以用康托的办法来考察点和长度的关系。以x轴上的两条线段[0,1]和[0，2]为例，容易看到后者的长度是前者的二倍，但如果我们以b=2a这样的对应关系来比较两条线段，就会发现对于第一条线段上的每个点，第二条线段上都有且仅有唯一一个点与之对应，而反过来也是一样，第二条线段上的点也能在第一条线段上找到唯一点与之对应。这说明两条线段上的点的“数目”是相同的。

然而，第一条线段是第二条线段的一部分，这个比较似乎违反了欧几里得“部分小于整体”的公理，因此提出这个理论的康托在当年遭到了强烈的抵制，落下了精神疾病，悲剧收场。但他的理论最终得到了数学界的认可，今天几乎每个数学分支都在康托的集合理论基础上进行了重构。“谁都无法把我们逐出康托所建的乐园”，是对伟人最高的褒奖。

回来说这个比较对本题的意义,“同样多”的点长度却可以千差万别，这本身就说明了长度并不是点的累积。正如前面所说的，点没有长度，再多的点合到一起仍然不会制造出长度。长度是对线的度量，从数学(测度论，实变函数等)上看，是定义在线的集类上的测度，可以被看作是线本身的性质，跟点并无关系。

实际上，曾经学习过微元法的人都会知道，微元虽小，但一定和最后所求的量是同一量纲。计算线长度的微元一定是小线段的长度，计算面积的微元一定是小块图形(小窄条或者小扇形等)的面积，而由点是积不成线的。