今天的目標是解第8屆華盃賽奧數題，所用知識不超過小學4年級，讓你家小朋友試一試，每天進步一小點：
4個不同的三位數，它們的百位數相同，且其中有3個數能整除這4個數的和，請問這4個數分別是多少？
該題目屬於數論問題，難度五星。
解題思路可以化做以下三道題目：
題目一（簡單）
4個不同的三位數a、b、c、d，a
a+b+c+d=k*a=m*b=n*c,
請問k可能比6大麼？
題目二（中等難度）
4個不同的三位數a、b、c、d，a
a+b+c+d=k*a=m*b=n*c,
求k,m,n的值。
題目三（進階思考,華盃賽真題）
4個不同的三位數，它們的百位數相同，且其中有3個數能整除這4個數的和，請問這4個數分別是多少？
以下為答案：
題目一：
答:不可能。
由於am>n，
a越小，b、c、d越大，則k越大
考慮極端情況，
a取100，b、c、d分別取197、198、199，
此時，k=6.94，
注意到
所以，k不可能比6大。
題目二：
答:5、4、3。
從題目一知道，k不可能比6大
類似於題目一的做法，可以知道n不可能比3小，
因此6>=k>m>n>3,
注意到k/n=c/a<2(由於a、c首位相同），
故：k、m、n中，3和6不能同時出現，
則3個k、m、n只可能是6、5、4或5、4、3，
討論：
(1)當k、m、n是6、5、4時，
b=a*6/5,c=a*3/2,
代入a+b+c+d=6a中，
有d=a*23/10>2a,
與d和a首位相同矛盾，不可能。
(2)當k、m、n是5、4、3時，
b=a*5/4,c=a*5/3,d=a*13/12，
無矛盾。
所以，k、m、n分別是5、4、3。
題目三：
答：108、117、135、180。
假設這4個不同的三位數為a、b、c、d，a
a+b+c+d=k*a=m*b=n*c,
從題目二知道，k、m、n分別是5、4、3,
則，a=c*3/5,b=c*3/4,d=c*13/20,
故c是20的倍數，
由於a、b、c、d是首位相同的三位數，
故c-a=c*2/5<100,即c<250,
a=c*3/5>100,即c>166.7,
因此，c可能的取值只有180、200、220、240，
帶入驗證，只有c取180時，a、b、c、d是首位相同的三位數，
此時a=108,b=135,d=117,
所以，答案是108、117、135、180。
閱讀更多 婚慶奧特曼 的文章
